[math][東京医科歯科大学][空間座標]1988年東京医科歯科大学数学問題3

Table of Contents

問題

空間において、次のような円筒 $T$ を考える。 $T : {\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ 0 \leq z \leq 1 \end{cases}$ 円筒 $T$ と平面 $z = 0$ との交わりを、円 $C$ とする。以下の問いに答えよ。
$(1)$ 点 $A$ の座標を $(0, 1, 1)$ とし、円 $C$ 上に $1$ 点 $P$ をとる。 $A$ と $P$ を両端とする円筒上の曲線の中で、その長さが最も短くなるような曲線を考え、その長さを $l$ とする。点 $P)$ が点 $(1, 0, 0)$ を出発して円 $C$ 上を $1$ 回転するとき、 $l$ は何回整数値をとるか。
$(2)$ 点 $C$ 上に $1$ 点 $Q$ をとる。原点 $O$ と点 $Q$ からの距離の比が $2 : 1$ となるような点 $R$ がえがく曲面を $S$ とする。点 $Q$ の座標が $(0, 1, 0)$ のとき、曲面 $S$ を表す方程式を求めよ。
$(3)$ $(2)$ において点 $Q$ が円 $C$ 上を $1$ 回転するとき、曲面 $S$ が動いてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

方針

$(3)$ は普通に積分してもよいが、パップス・ギュルダンの定理が使える。

解答

$(1)$ 点 $P$ が $(0, 1, 0)$ にあるとき、 $l = 1$ で、これが $l$ の最小値である。点 $P$ が $(0, - 1, 0)$ にあるとき、 $l = \sqrt{1 + π^{2}}$ で、これが $l$ の最大値になる。 $l$ は連続であるから、この間の値をすべて取る。 $3 < π < 3.2$ であるから、 $\begin{array}{r} 9 < π^{2} < 10.24 \\ 10 < 1 + π^{2} < 11.24 \\ 3 < \sqrt{10} < \sqrt{1 + π^{2}} < \sqrt{11.24} < 4 \end{array}$ である。したがって、点 $P$ が円 $C$ 上を一周するときに、 $l$ は $1, 2, 3, 3, 2$ と $5$ 回の整数値をとる。

$(2)$ 題意から、 $\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} : \sqrt{x^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2}} = 2 : 1$ である。両辺を二乗して、 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 (x^{2} + (y - 1)^{2} + z^{2})$ となる。整理して、 $\underset{―}{x^{2} + {(y - \frac{4}{3})}^{2} + z^{2} = \frac{4}{9}}$ となる。これは空間上の球になる。

$(3)$ 点 $Q$ の座標を $(\cos θ, \sin θ, 0) (0 \leq θ \leq 2 π)$ として $S$ の方程式を求める。 $\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} : \sqrt{(x - \cos θ)^{2} + (y - \sin θ)^{2} + z^{2}} = 2 : 1$ として、 $(2)$ と同様に整理すると、方程式は ${(x - \frac{4}{3} \cos θ)}^{2} + {(y - \frac{4}{3} \sin θ)}^{2} + z^{2} = \frac{4}{9}$ となる。したがって、 $θ$ が動くとき、曲面 $S$ の作る立体は、 $(2)$ の球を $z$ 軸のまわりに回転させたものである。これは、ドーナツのような形になる。 $(2)$ の級の半径は $\frac{2}{3}$ で、回転軸からの距離は $\frac{4}{3}$ であるから、求める体積は ${(\frac{2}{3})}^{2} \times π \times \frac{4}{3} \times 2 π = \underset{―}{\frac{32}{27} π^{2}}$ となる。

解説

$(1)$ これは小手調べになる。 $l = 1$ となるのは $1$ 回だけなことに注意する。

$(2)$ これは立式するだけで、答えの方程式が球になることも問題ないだろう。

$(3)$ 解答では丁寧に記述するために点 $Q$ の座標を $(\cos θ, \sin θ, 0) (0 \leq θ \leq 2 π)$ などと置いたが、分かっていれば答案に書く必要はないだろう。この立体のことをトーラスという。体積を求める部分でパップス・ギュルダンの定理を用いているが、 $(3)$ の立体は $(2)$ で ${(y - \frac{4}{3})}^{2} + z^{2} = {(\frac{2}{3})}^{2}, x = 0$ としたものを $z$ 軸のまわりに回転させたものであるので、この方程式を $y = \frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{4}{9} - z^{2}}$ として、求める体積を $V = π \int_{- \frac{2}{3}}^{\frac{2}{3}} ({(\frac{4}{3} + \sqrt{\frac{4}{9} - z^{2}})}^{2} - {(\frac{4}{3} - \sqrt{\frac{4}{9} - z^{2}})}^{2}) d z$ と立式して計算しても構わない。