[math][東京医科歯科大学][空間座標]1988年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

空間において、次のような円筒$T$を考える。$$T: \begin{cases}x^2+y^2=1\\ 0\leq z\leq 1\end{cases}$$円筒$T$と平面$z = 0$との交わりを、円$C$とする。以下の問いに答えよ。
$(1)$点$A$の座標を$(0, 1, 1)$とし、円$C$上に$1$点$P$をとる。$A$と$P$を両端とする円筒上の曲線の中で、その長さが最も短くなるような曲線を考え、その長さを$l$とする。点$P)$が点$(1, 0, 0)$を出発して円$C$上を$1$回転するとき、$l$は何回整数値をとるか。
$(2)$ 点$C$上に$1$点$Q$をとる。原点$O$と点$Q$からの距離の比が$2: 1$となるような点$R$がえがく曲面を$S$とする。点$Q$の座標が$(0, 1, 0)$のとき、曲面$S$を表す方程式を求めよ。
$(3)$ $(2)$において点$Q$が円$C$上を$1$回転するとき、曲面$S$が動いてできる立体の体積$V$を求めよ。

方針

$(3)$は普通に積分してもよいが、パップス・ギュルダンの定理が使える。

解答

$(1)$ 点$P$が$(0, 1, 0)$にあるとき、$l = 1$で、これが$l$の最小値である。点$P$が$(0, -1, 0)$にあるとき、$l = \sqrt{1+{\pi}^2}$で、これが$l$の最大値になる。$l$は連続であるから、この間の値をすべて取る。$3 < \pi < 3.2$であるから、$$\begin{eqnarray}9 < \pi^2 < 10.24\\ 10 < 1+{\pi}^2 < 11.24\\ 3 < \sqrt{10} < \sqrt{1+{\pi}^2} < \sqrt{11.24} < 4\end{eqnarray}$$である。したがって、点$P$が円$C$上を一周するときに、$l$は$1, 2, 3, 3, 2$と$5$回の整数値をとる。

$(2)$ 題意から、$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}:\sqrt{x^2+(y-1)^2+z^2} = 2:1$$である。両辺を二乗して、$$x^2+y^2+z^2= 4(x^2+(y-1)^2+z^2)$$となる。整理して、$\displaystyle \underline{x^2+\left(y-\frac{4}{3}\right)^2 +z^2 = \frac{4}{9}}$となる。これは空間上の球になる。

$(3)$ 点$Q$の座標を$(\cos{\theta}, \sin{\theta}, 0)\ \ (0\leq \theta\leq 2\pi)$として$S$の方程式を求める。$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}:\sqrt{(x-\cos{\theta})^2+(y-\sin{\theta})^2+z^2} = 2: 1$$として、$(2)$と同様に整理すると、方程式は$$\left(x-\frac{4}{3}\cos{\theta}\right)^2+\left(y-\frac{4}{3}\sin{\theta}\right)^2+z^2 = \frac{4}{9}$$となる。したがって、$\theta$が動くとき、曲面$S$の作る立体は、$(2)$の球を$z$軸のまわりに回転させたものである。これは、ドーナツのような形になる。$(2)$の級の半径は$\displaystyle \frac{2}{3}$で、回転軸からの距離は$\displaystyle \frac{4}{3}$であるから、求める体積は$\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^2\times \pi\times \frac{4}{3}\times 2\pi = \underline{\frac{32}{27}{\pi}^2}$となる。

解説

$(1)$ これは小手調べになる。$l = 1$となるのは$1$回だけなことに注意する。

$(2)$ これは立式するだけで、答えの方程式が球になることも問題ないだろう。

$(3)$ 解答では丁寧に記述するために点$Q$の座標を$(\cos{\theta}, \sin{\theta}, 0)\ \ (0\leq \theta\leq 2\pi)$などと置いたが、分かっていれば答案に書く必要はないだろう。この立体のことをトーラスという。体積を求める部分でパップス・ギュルダンの定理を用いているが、$(3)$の立体は$(2)$で$$\left(y-\frac{4}{3}\right)^2+z^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2, x = 0$$としたものを$z$軸のまわりに回転させたものであるので、この方程式を$\displaystyle y = \frac{4}{3}\pm \sqrt{\frac{4}{9}-z^2}$として、求める体積を$$V = \pi\int_{-\frac{2}{3}}^{\frac{2}{3}}{\left(\left(\frac{4}{3}+\sqrt{\frac{4}{9}-z^2}\right)^2-\left(\frac{4}{3}-\sqrt{\frac{4}{9}-z^2}\right)^2\right)dz}$$と立式して計算しても構わない。