[math][東京工業大学][空間座標]2021年東京工業大学数学問題4

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問題

$S$を、座標空間内の原点$O$を中心とする半径$1$の球面とする。$S$上を動く点$A, B, C, D$に対して、$$F = 2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2)$$とおく。以下の問に答えよ。
$(1)$ $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}, \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{d}$とするとき、$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}$によらない定数$k$によって$$F = k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}-3\overrightarrow{d})$$と書けることを示し、定数$k$を求めよ。
$(2)$ 点$A, B, C, D$が球面$S$を動くときの、$F$の最大値$M$を求めよ。
$(3)$ 点$C$の座標が$\displaystyle \left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4}, 0\right)$、点$D$の座標が$(1, 0, 0)$であるとき、$F = M$となる$S$上の点$A, B$の組をすべて求めよ。

方針

$(2)$までは計算主体であるが、$(3)$はしっかりと思考しなくてはいけない。

解答

$(1)$ $$\begin{eqnarray}F & = & 2(AB^2+BC^2+CA^2)-3(AD^2+BD^2+CD^2)\\ & = & 2(|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|^2)\\ & & -3(|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}|^2)\\ & = & 2(6-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}-2\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a})\\ & & -3(6-2\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{b}-2\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{c})\\ & = & 12-4(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c} + \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a})\\ & & -18+6\overrightarrow{d}\cdot(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \tag{a}\label{a}\end{eqnarray}$$である。一方、$$\begin{eqnarray}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}-3\overrightarrow{d}) & = & |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2-3\overrightarrow{d}\cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})\\ & = & 3+2(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a} )\\ & & -3\overrightarrow{d}\cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})\tag{b}\label{b}\end{eqnarray}$$である。\eqref{a}と\eqref{b}を見比べて、$\underline{k = -2}$とすると良いことがわかる。

$(2)$ $(1)$から、$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{e}$と置くと、$$\begin{eqnarray}F & = & -2\overrightarrow{e}(\overrightarrow{e}-3\overrightarrow{d})\\ & = & -2\left(\left|\overrightarrow{e}-\frac{3}{2}\overrightarrow{d}\right|^2-\frac{9}{4}\right)\end{eqnarray}$$となる。$\displaystyle \overrightarrow{e} = \frac{3}{2}\overrightarrow{d}$となる点、すなわち$\displaystyle \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{3} = \frac{\overrightarrow{d}}{2}$となるように配置が可能であれば、$F$の最大値は$\displaystyle \frac{9}{2}$となる。一例として、平面$\displaystyle z = \frac{1}{2}$で$S$を切り、平面による$S$の切り口である円周上に正三角形をとり、$A, B, C$とする。この正三角形の重心は切り口の円の中心の$z$軸上にあるので、$D$をその延長の$(0, 0, 1)$にとれば、$\displaystyle \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{3} = \frac{\overrightarrow{d}}{2}$とすることができる。よって、$F$の最大値$M$は$\displaystyle \underline{M = \frac{9}{2}}$となる。

$(3)$ $(2)$から$F = M$となる必要十分条件は$\displaystyle \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{3} = \frac{\overrightarrow{d}}{2}$である。したがって、$\displaystyle \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \frac{3}{2}\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$である。これを計算すると、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} & = & \frac{3}{2}\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\\ & = & \frac{3}{2}(1, 0, 0)-\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4}, 0\right)\\ & = & \left(\frac{7}{4}, -\frac{\sqrt{15}}{4}, 0\right)\end{eqnarray}$$である。この絶対値は、$\displaystyle \frac{\sqrt{7^2+(\sqrt{15})^2}}{4} = 2$である。$$\begin{eqnarray}|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| & \leq & |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|\\ & = & 2\end{eqnarray}$$で、等号が成り立つのは$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b}$の場合であるから、仮に、$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が異なるベクトルである場合、$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| < 2$となる。よって、$\displaystyle \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} = \frac{1}{2}\left(\frac{7}{4}, -\frac{\sqrt{15}}{4}, 0 \right) = \underline{\left(\frac{7}{8}, -\frac{\sqrt{15}}{8}, 0\right)}$となる。

解説

$(3)$ $\overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}$が与えられていて、$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$がわかっているとき、問題の設定で$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$が決定できるのは$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 2$のときのみである。これを見てみよう。$A = (x, y, z), B = (s, t, u)$とすると、$A, B$は$S$上にあるので、$$\begin{eqnarray}x^2+y^2+z^2 & = & 1\\ s^2+t^2+u^2 & = & 1\end{eqnarray}\tag{c}\label{c}$$である。$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (p, q, r)$（$p, q, r$は定数）とすると、$$\begin{cases}x+s = p\\ y + t = q\\ z + u = r\end{cases}$$であるから、\eqref{a}に代入して、$$\begin{eqnarray}(p-x)^2 + (q-y)^2 + (r-z)^2 & = & 1\\ \iff px+qy+rz & = & \frac{p^2+q^2+r^2+x^2+y^2+z^2-1}{2}\\ & = & \frac{p^2+q^2+r^2}{2}\end{eqnarray}$$である。これは$xyz$座標空間上の平面で、球$S$との距離は$$\frac{\left|\frac{p^2+q^2+r^2}{2}\right|}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}} = \frac{\sqrt{p^2+q^2+r^2}}{2}$$となる。したがって、$\sqrt{p^2+q^2+r^2} = 2$のときのみ、平面と$S$は一点で交わり$A, B$が決定できるが、それ以外のときは平面と$S$の交わりは円となり、$A, B$を決定することはできない。このような背景があるから、$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|$の絶対値を計算しているのである。