[math][東京工業大学][積分]2021年東京工業大学数学問題5

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問題

$xy$平面上の円$C: x^2+(y-a)^2=a^2\ (a > 0)$を考える。以下の問いに答えよ。
$(1)$ 円$C$が$y\geq x^2$で表される領域に含まれるための$a$の範囲を求めよ。
$(2)$ 円$C$が$y\geq x^2-x^4$で表される領域に含まれるための$a$の範囲を求めよ。
$(3)$ $a$が$(2)$の範囲にあるとする。$xy$平面において連立不等式$$|x|\leq \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\leq y\leq \frac{1}{4}, y\geq x^2-x^4, x^2+(y-a)^2\geq a^2$$で表される領域$D$を、$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ。

方針

$(3)$では$a$の大小で場合分けが必要になる。

解答

$(1)$ $y\geq x^2$に円$C$の方程式$x^2 = a^2-(y-a)^2$を代入して、$$\begin{eqnarray}y & \geq & a^2-(y-a)^2\\ \iff y^2-2ay+y & \geq & 0 \\ \iff y(y-2a+1) & \geq & 0 \tag{a}\label{a}\end{eqnarray}$$である。$y\geq x^2\geq 0$であるから、\eqref{a}が常に成り立つためには、$-2a+1\geq 0$、つまり$\displaystyle \underline{a\leq \frac{1}{2}}$が求める範囲となる。

$(2)$ $y\geq x^2-x^4$に円$C$の方程式$x^2=a^2-(y-a)^2$を代入して、$$\begin{eqnarray}y & \geq & x^2-x^4\\ & = & (a^2-(y-a)^2)-(a^2-(y-a)^2))^2\\ & = & y(-y+2a)-y^2(-y+2a)^2\end{eqnarray}$$である。円$C$に対して、$y\geq 0$であるから、これは$$\begin{eqnarray}1 & \geq & -y+2a-y(-y+2a)^2\end{eqnarray}$$と同値である。整理して、$$\begin{eqnarray}y(-y+2a)^2+y-2a+1\geq 0\\ \iff y^3-4ay^2+(4a^2+1)y-2a+1& \geq & 0 \tag{b}\label{b}\end{eqnarray}$$となる。$f(y) = y^3-4ay^2+(4a^2+1)y-2a+1\ (y\geq 0)$とする。$f(0) = -2a+1\geq 0$が必要であるから、$\displaystyle a\leq \frac{1}{2}$である。$f^{\prime}(y) = 3y^2-8ay+4a^2+1$であり、$f^{\prime}(y) = 0$の判別式は、$(4a)^2-3(4a^2+1) = 4a^2-3$であるが、$\displaystyle a\leq \frac{1}{2}$のときこれは負となり、$f^{\prime}(y) > 0$が成り立つ。したがって$f(y)$は単調増加で、$f(0)\geq 0$と併せて$f(y) \geq 0$となる。以上から、求める$a$の範囲は$\displaystyle \underline{a\leq \frac{1}{2}}$となる。

$(3)$ $y = x^2-x^4$について、$y^{\prime} = 2x^2-4x^3 = 2x^2(1-2x^2)$である。円$C$の上端は$2a$であるから、$\displaystyle 2a$と$\displaystyle \frac{1}{4}$の大小で場合分けする。
$\displaystyle \ \ \ (i) 2a > \frac{1}{4}$、つまり$\displaystyle \frac{1}{8}< a \leq \frac{1}{2}$のとき、図形の概形は以下のようになる。領域$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は、$\displaystyle y = \frac{1}{4}$と$y = x^2-x^4$で囲まれた部分の体積はバームクーヘン型に分割して考えて、また球の一部は$y$軸方向に積分して、$$\begin{eqnarray} & = & 2\pi\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}{x\left(\frac{1}{4}-(x^2-x^4)\right)dx}-\int_{0}^{\frac{1}{4}}{\pi(a^2-(y-a)^2)dy}\\ & = & 2\pi\left[\frac{x^2}{8}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^6}{6}\right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}-\pi\left[-\frac{y^3}{3}+ay^2\right]_{0}^{\frac{1}{4}}\\ & = & \frac{\pi}{24}+\frac{\pi}{192}-\frac{a}{16}\pi\\ & = & \frac{3-4a}{64}\pi\end{eqnarray}$$となる。

$\displaystyle \ \ \ (ii) 2a \leq \frac{1}{4}$、つまり$\displaystyle a\leq \frac{1}{8}$のとき、図形の概形は以下のようになる。$\displaystyle y = \frac{1}{4}$と$y = x^2-x^4$で囲まれた部分の面積は$(i)$と同様に求めて、そこから円$C$を回転させて得られる球の体積を除けば良い。領域$D$の体積は、$$\begin{eqnarray} & = & \frac{\pi}{24}-\frac{4a^3}{3}\pi\end{eqnarray}$$となる。

以上から、領域$D$の体積は、$$\begin{cases}\underline{\displaystyle \frac{3-4a}{64}\pi \ \ \left(\frac{1}{8} < a\leq \frac{1}{2}\right)\\ \displaystyle \frac{\pi}{24}-\frac{4a^3}{3}\pi\ \ \left(a \leq \frac{1}{8}\right)}\end{cases}$$となる。

解説

$(2)$ 条件の求め方は丁寧にやらないと難しい。$x = 0$のとき$y = x^2$と$y = x^2-x^4$は一致するので、$(1)$から$\displaystyle a \leq \frac{1}{2}$が必要、としておいてから$y \geq x^2 \geq x^2-x^4$なので十分、としてもよいだろう。

$(3)$ $a$の値に応じて場合分けしなくてはいけない。体積の計算では、バームクーヘン型分割を用いるのが簡単だろう。円$C$が$\displaystyle y\leq \frac{1}{4}$に含まれる$(i)$の場合は、解答で$y$は軸方向に積分したが、球冠の考え方を用いてもよいだろう。$(i), (ii)$の場合で$a$の次数が異なるので少し心配になるが、$\displaystyle a = \frac{1}{8}$で値が一致することを確かめるとよいだろう。