[math][東京工業大学][空間座標]2020年東京工業大学数学問題3

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問題

座標空間に$5$点$$O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 4), P(0,0, -2)$$をとる。さらに$0 < a < 3, 0 < b < 3$に対して$2$点$Q(a, 0, 0)$と$R(0, b, 0)$を考える。
$(1)$ 点$P, Q, R$を通る平面を$H$とする。平面$H$と線分$AC$の交点$T$の座標、および平面$H$と線分$BC$の交点$S$の座標を求めよ。
$(2)$ 点$Q, R, S, T$が同一円周上にあるための必要十分条件を$a, b$を用いて表し、それらを満たす点$(a, b)$の範囲を座標平面上に図示せよ。

方針

$(1)$ 一般に、座標平面上で$2$点$(p, 0), (0, q)$を通る直線は$\displaystyle \frac{x}{p}+\frac{y}{q} = 1$で表すことができる。同様に、座標空間上で$3$点$(p, 0, 0), (0, q, 0), (0, 0, r)$を通る平面は$\displaystyle \frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r} = 1$と表すことができる。

$(2)$ 点$P$を利用して、方べきの定理の逆を考えると良い。

解答

$(1)$ $H$の方程式は$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}-\frac{z}{2} = 1$である。線分$AC$の方程式は$\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{z}{4} = 1, y = 0$であるから、連立させると、$$\begin{cases}\displaystyle \frac{x}{a}-\frac{z}{2} = 1\\ \displaystyle \frac{x}{3}+\frac{z}{4} = 1\end{cases}$$となる。これを解くと、$\displaystyle x = \frac{9a}{2a+3}, z = \frac{4(3-a)}{2a+3}$となるから、$T$の座標は$\displaystyle \underline{T = \frac{1}{2a+3}\left(9a, 0, 4(3-a)\right)}$となる。同様に、線分$BC$の方程式は$\displaystyle \frac{y}{3}+\frac{z}{4} = 1, x = 0$であるから、連立させると、$$\begin{cases}\displaystyle \frac{y}{b}-\frac{z}{2} = 1\\ \displaystyle \frac{y}{3}+\frac{z}{4} = 1\end{cases}$$となる。これを解くと、$\displaystyle y = \frac{9b}{2b+3}, z = \frac{4(3-b)}{2b+3}$となるから、$S$の座標は$\displaystyle \underline{S = \frac{1}{2b+3}\left(0, 9b, 4(3-b)\right)}$となる。

$(2)$ 直線$TQ$と直線$SR$は点$P$で交わるので、方べきの定理の逆から、$PQ\cdot PT = PR\cdot PS$であれば$4$点$Q, R, T, S$は同一円周上にある。

$$\begin{eqnarray}PQ & = & \sqrt{a^2+4}\\ PT & = & \sqrt{\left(\frac{9a}{2a+3}\right)^2+\left(\frac{4(3-a)}{2a+3}-(-2)\right)^2}\\ & = & \frac{1}{2a+3}\sqrt{(9a)^2+(4(3-a)+2(2a+3))^2}\\ & = & \frac{1}{2a+1}\sqrt{(9a)^2+(18)^2}\\ & = & \frac{9}{2a+3}\sqrt{a^2+4}\end{eqnarray}$$である。同様に計算して、$$\begin{eqnarray}PR & = & \sqrt{b^2+4}\\ PS & = & \frac{9}{2b+3}\sqrt{b^2+4}\end{eqnarray}$$となるので、条件に当てはめると、$$\begin{eqnarray}PQ\cdot PT & = & PR\cdot PS\\ \iff \sqrt{a^2+4}\cdot \frac{9}{2a+3}\sqrt{a^2+4} & = & \sqrt{b^2+4}\cdot \frac{9}{2b+3}\sqrt{b^2+4}\\ \iff (a^2+4)(2b+3) & = & (b^2+4)(2a+3)\\ \iff (a-b)(2ab+3a+3b-8) & = & 0\end{eqnarray}$$である。したがって、求める条件は$\underline{a = b}$または$\underline{2ab+3a+3b-8 = 0}$で、これを図示すると下の図のようになる。