[math][東京工業大学][空間座標]2020年東京工業大学数学問題3

Table of Contents

問題

座標空間に $5$ 点 $O (0, 0, 0), A (3, 0, 0), B (0, 3, 0), C (0, 0, 4), P (0, 0, - 2)$ をとる。さらに $0 < a < 3, 0 < b < 3$ に対して $2$ 点 $Q (a, 0, 0)$ と $R (0, b, 0)$ を考える。
$(1)$ 点 $P, Q, R$ を通る平面を $H$ とする。平面 $H$ と線分 $A C$ の交点 $T$ の座標、および平面 $H$ と線分 $B C$ の交点 $S$ の座標を求めよ。
$(2)$ 点 $Q, R, S, T$ が同一円周上にあるための必要十分条件を $a, b$ を用いて表し、それらを満たす点 $(a, b)$ の範囲を座標平面上に図示せよ。

方針

$(1)$ 一般に、座標平面上で $2$ 点 $(p, 0), (0, q)$ を通る直線は $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ で表すことができる。同様に、座標空間上で $3$ 点 $(p, 0, 0), (0, q, 0), (0, 0, r)$ を通る平面は $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1$ と表すことができる。

$(2)$ 点 $P$ を利用して、方べきの定理の逆を考えると良い。

解答

$(1)$ $H$ の方程式は $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{z}{2} = 1$ である。線分 $A C$ の方程式は $\frac{x}{3} + \frac{z}{4} = 1, y = 0$ であるから、連立させると、 ${\begin{cases} \frac{x}{a} - \frac{z}{2} = 1 \\ \frac{x}{3} + \frac{z}{4} = 1 \end{cases}$ となる。これを解くと、 $x = \frac{9 a}{2 a + 3}, z = \frac{4 (3 - a)}{2 a + 3}$ となるから、 $T$ の座標は $\underset{―}{T = \frac{1}{2 a + 3} (9 a, 0, 4 (3 - a))}$ となる。同様に、線分 $B C$ の方程式は $\frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1, x = 0$ であるから、連立させると、 ${\begin{cases} \frac{y}{b} - \frac{z}{2} = 1 \\ \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 \end{cases}$ となる。これを解くと、 $y = \frac{9 b}{2 b + 3}, z = \frac{4 (3 - b)}{2 b + 3}$ となるから、 $S$ の座標は $\underset{―}{S = \frac{1}{2 b + 3} (0, 9 b, 4 (3 - b))}$ となる。

$(2)$ 直線 $T Q$ と直線 $S R$ は点 $P$ で交わるので、方べきの定理の逆から、 $P Q \cdot P T = P R \cdot P S$ であれば $4$ 点 $Q, R, T, S$ は同一円周上にある。

$\begin{array}{rcl} P Q & = & \sqrt{a^{2} + 4} \\ P T & = & \sqrt{{(\frac{9 a}{2 a + 3})}^{2} + {(\frac{4 (3 - a)}{2 a + 3} - (- 2))}^{2}} \\ = & \frac{1}{2 a + 3} \sqrt{(9 a)^{2} + (4 (3 - a) + 2 (2 a + 3))^{2}} \\ = & \frac{1}{2 a + 1} \sqrt{(9 a)^{2} + (18)^{2}} \\ = & \frac{9}{2 a + 3} \sqrt{a^{2} + 4} \end{array}$ である。同様に計算して、 $\begin{array}{rcl} P R & = & \sqrt{b^{2} + 4} \\ P S & = & \frac{9}{2 b + 3} \sqrt{b^{2} + 4} \end{array}$ となるので、条件に当てはめると、 $\begin{array}{rcl} P Q \cdot P T & = & P R \cdot P S \\ ⟺ \sqrt{a^{2} + 4} \cdot \frac{9}{2 a + 3} \sqrt{a^{2} + 4} & = & \sqrt{b^{2} + 4} \cdot \frac{9}{2 b + 3} \sqrt{b^{2} + 4} \\ ⟺ (a^{2} + 4) (2 b + 3) & = & (b^{2} + 4) (2 a + 3) \\ ⟺ (a - b) (2 a b + 3 a + 3 b - 8) & = & 0 \end{array}$ である。したがって、求める条件は $\underset{―}{a = b}$ または $\underset{―}{2 a b + 3 a + 3 b - 8 = 0}$ で、これを図示すると下の図のようになる。