[math][東京工業大学][座標平面][空間図形]2019年東京工業大学数学問題1

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2022.12.15

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問題

$(1)$ $h > 0$ とする。座標平面上の点 $O (0, 0)$ 、点 $P (h, s)$ 、点 $Q (h, t)$ に対して、三角形 $O P Q$ の面積を $S$ とする。ただし、 $s < t$ とする。三角形 $O P Q$ の辺 $O P, O Q, P Q$ の長さをそれぞれ $p, q, r$ とするとき、不等式 $p^{2} + q^{2} + r^{2} \geq 4 \sqrt{3} S$ が成り立つことを示せ。また、等号が成立するときの $s, t$ の値を求めよ。
$(2)$ 四面体 $A B C D$ の表面積を $T$ 、辺 $B C, C A, A B$ の長さをそれぞれ $a, b, c$ とし、辺 $A D, B D, C D$ の長さをそれぞれ $l, m, n$ とする。このとき、不等式 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + l^{2} + m^{2} + n^{2} \geq 2 \sqrt{3} T$ が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのは四面体 $A B C D$ がどのような四面体のときか答えよ。

方針

$(2)$ では $(1)$ の結果を利用する。

解答

$(1)$ 図から $S = \frac{h}{2} (t - s)$ であるから、 $\begin{array}{rcl} p^{2} + q^{2} + r^{2} - 4 \sqrt{3} S & = & (h^{2} + s^{2}) + (h^{2} + t^{2}) + (t - s)^{2} - 4 \sqrt{3} \cdot \frac{h}{2} (t - s) \\ = & 2 (h^{2} - \sqrt{3} h (t - s)) + s^{2} + t^{2} + (t - s)^{2} \\ = & 2 {(h - \frac{\sqrt{3}}{2} (t - s))}^{2} - \frac{3}{2} (t - s)^{2} + s^{2} + t^{2} + (t - s)^{2} \\ = & 2 {(h - \frac{\sqrt{3}}{2} (t - s))}^{2} + \frac{(t + s)^{2}}{2} \\ \geq & 0 \end{array}$ である。等号が成り立つのは、 $h = \frac{\sqrt{3}}{2} (t - s), t + s = 0$ で、このとき $\underset{―}{t = \frac{h}{\sqrt{3}}, s = - \frac{h}{\sqrt{3}}}$ となる。

$(2)$ 三角形 $A B C, A B D, B C D, C A D$ の面積を順に $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ とすると、 $(1)$ から、 $\begin{array}{rcl} a^{2} + b^{2} + c^{2} & \geq & 4 \sqrt{3} S_{1} \\ c^{2} + l^{2} + m^{2} & \geq & 4 \sqrt{3} S_{2} \\ a^{2} + m^{2} + n^{2} & \geq & 4 \sqrt{3} S_{3} \\ b^{2} + n^{2} + l^{2} & \geq & 4 \sqrt{3} S_{4} \end{array}$ である。すべて足して、 $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + l^{2} + m^{2} + n^{2}) \geq 4 \sqrt{3} (S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4})$ である。 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} = T$ であるから、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + l^{2} + m^{2} + n^{2} \geq 2 \sqrt{3} T$ を得る。 $(1)$ で等号が成立するとき、 $p = q = r = \frac{2}{\sqrt{3}} h$ であるから、三角形 $A B C$ は正三角形である。したがって、 $(2)$ で等号が成立するときは、すべての面が正三角形になるから、四面体 $A B C D$ は正四面体である。