[math][東京工業大学][座標平面][空間図形]2019年東京工業大学数学問題1

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2022.12.15

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問題

$(1)$ $h > 0$とする。座標平面上の点$O(0, 0)$、点$P(h, s)$、点$Q(h, t)$に対して、三角形$OPQ$の面積を$S$とする。ただし、$s < t$とする。三角形$OPQ$の辺$OP, OQ, PQ$の長さをそれぞれ$p, q, r$とするとき、不等式$$p^2+q^2+r^2\geq 4\sqrt{3}S$$が成り立つことを示せ。また、等号が成立するときの$s, t$の値を求めよ。
$(2)$ 四面体$ABCD$の表面積を$T$、辺$BC, CA, AB$の長さをそれぞれ$a, b, c$とし、辺$AD, BD, CD$の長さをそれぞれ$l, m, n$とする。このとき、不等式$$a^2+b^2+c^2+l^2+m^2+n^2\geq 2\sqrt{3}T$$が成り立つことを示せ。また、等号が成立するのは四面体$ABCD$がどのような四面体のときか答えよ。

方針

$(2)$では$(1)$の結果を利用する。

解答

$(1)$ 図から$\displaystyle S = \frac{h}{2}(t-s)$であるから、$$\begin{eqnarray}p^2+q^2+r^2-4\sqrt{3}S & = & (h^2+s^2)+(h^2+t^2)+(t-s)^2-4\sqrt{3}\cdot \frac{h}{2}(t-s)\\ & = & 2(h^2-\sqrt{3}h(t-s))+s^2+t^2+(t-s)^2\\ & = & 2\left(h-\frac{\sqrt{3}}{2}(t-s)\right)^2-\frac{3}{2}(t-s)^2+s^2+t^2+(t-s)^2\\ & = & 2\left(h-\frac{\sqrt{3}}{2}(t-s)\right)^2+\frac{(t+s)^2}{2} \\ & \geq & 0\end{eqnarray}$$である。等号が成り立つのは、$\displaystyle h = \frac{\sqrt{3}}{2}(t-s), t + s = 0$で、このとき$\displaystyle \underline{t = \frac{h}{\sqrt{3}}, s = -\frac{h}{\sqrt{3}}}$となる。

$(2)$ 三角形$ABC, ABD, BCD, CAD$の面積を順に$S_1, S_2, S_3, S_4$とすると、$(1)$から、$$\begin{eqnarray}a^2+b^2+c^2 &\geq & 4\sqrt{3}S_1\\ c^2+l^2+m^2 & \geq & 4\sqrt{3}S_2\\ a^2+m^2+n^2 & \geq & 4\sqrt{3}S_3\\ b^2+n^2+l^2 & \geq & 4\sqrt{3}S_4\end{eqnarray}$$である。すべて足して、$$2(a^2+b^2+c^2+l^2+m^2+n^2) \geq 4\sqrt{3}(S_1+S_2+S_3+S_4)$$である。$S_1+S_2+S_3+S_4 = T$であるから、$$a^2+b^2+c^2+l^2+m^2+n^2 \geq 2\sqrt{3}T$$を得る。$(1)$で等号が成立するとき、$\displaystyle p = q = r = \frac{2}{\sqrt{3}}h$であるから、三角形$ABC$は正三角形である。したがって、$(2)$で等号が成立するときは、すべての面が正三角形になるから、四面体$ABCD$は正四面体である。