問題
を虚数単位とする。実部と虚部が共に整数であるような複素数によりと表される複素数全体の集合をとする。
原点を中心とする半径の円上またはその内部に含まれるの要素の個数をとする。このとき、集合を求めよ。
複素数平面の相異なる点を結ぶ線分をで表すとき、つの線分で囲まれる領域の内部または境界に含まれるの要素の個数を求めよ。
方針
すべての点を倍して考えて、領域内の格子点の数を数えるのが簡単そうである。
解答
とすると、が取りうる値との取りうる値、およびの組が取りうる個数、累計個数は以下の表のようになる。
であるから、となるのは、のときである。よって、はとなる。
与えられた領域の全ての点を倍したものが下図のようになる。この領域の内部の格子点を数え上げると、の個となる。
解説
上の解答の領域の格子点で、例えばをで割ると、となる。これは当然だが、問題で最初に提示された領域の内部にある。
関連問題
2000年京都大学後期理系数学問題3 を満たす整数(格子点)の存在
2009年東京医科歯科大学前期数学問題1 格子点と座標平面、座標空間
関連リンク
東京工業大学
東京工業大学の教育、研究、社会連携、国際交流などの活動、東京工業大学に関する概要や最新情報をご覧頂けます。
コメント