[math][東京工業大学][複素平面]2019年東京工業大学数学問題3

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問題

iを虚数単位とする。実部と虚部が共に整数であるような複素数zによりz3+2iと表される複素数全体の集合をMとする。
(1) 原点を中心とする半径rの円上またはその内部に含まれるMの要素の個数をN(r)とする。このとき、集合{r|10N(r)<25}を求めよ。
(2) 複素数平面の相異なる2z,wを結ぶ線分をL(z,w)で表すとき、6つの線分L(0,1),L(1,1+i2),L(1+i2,1+i2),L(1+i2,12+i),L(12+i,i),L(i,0)で囲まれる領域の内部または境界に含まれるMの要素の個数を求めよ。

方針

(2) すべての点を3+2i倍して考えて、領域内の格子点の数を数えるのが簡単そうである。

解答

(1) z=m+ni,(m,n は整数)とすると、m2+n2が取りうる値とzの取りうる値、および(m,n)の組が取りうる個数、累計個数は以下の表のようになる。

m2+n2|z|(m,n)の組の個数累計個数
0011
1145
2249
42413
55821
822425
例えばm2+n2=5のとき、(m,n)=(±1,±2),(±2,±1)(複合任意)となる。

|3+2i|=13であるから、10N(r)<25となるのは、213r<22のときである。よって、{r|10N(r)<25}21313r<21613となる。

(2) 与えられた領域の全ての点を3+2i倍したものが下図のようになる。この領域の内部の格子点を数え上げると、(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(0,2),(1,2),(2,2),(3,2),(2,3),(1,3),(0,3),(2,3)12個となる。

きれいに頭を書いて格子点を数えると良い。

解説

上の解答の領域の格子点で、例えば1+2i3+2iで割ると、5+4i13となる。これは当然だが、問題で最初に提示された領域の内部にある。

関連問題

2000年京都大学後期理系数学問題3 ax+by=1を満たす整数(格子点)の存在
2009年東京医科歯科大学前期数学問題1 格子点と座標平面、座標空間

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