[math][東京工業大学][確率]2018年東京工業大学数学問題5

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問題

$xyz$空間内の一辺の長さが$1$の立方体$$\{(x, y, z)|\ \ 0\leq x\leq 1\ \ , 0\leq y\leq 1\ \ , 0\leq z\leq 1\}$$を$Q$とする。点$X$は頂点$A(0, 0, 0)$から出発して$Q$の辺上を$1$秒ごとに長さ$1$だけ進んで隣の頂点に移動する。$X$が$x$軸、$y$軸、$z$軸に平行に進む確率はそれぞれ$p, q, r$である。ただし、$$p\geq 0,\ \ q\geq 0,\ \ r \geq 0,\ \ p+q+r = 1$$である。$X$が$n$秒後に頂点$A(0, 0, 0), \ \ B(1, 1, 0),\ \ C(1, 0, 1),\ \ D(0, 1, 1)$にある確率をそれぞれ$a_n,\ \ b_n,\ \ c_n,\ \ d_n$とする。
$(1)$ $a_{n+2}$を$a_n,\ \ b_n,\ \ c_n,\ \ d_n$と$p,\ \ q,\ \ r$を用いて表わせ。
$(2)$ $a_n-b_n+c_n-d_n$を$p,\ \ q,\ \ r,\ \ n$を用いて表わせ。
$(3)$ $a_n$を$p,\ \ q,\ \ r,\ \ n$を用いて表わせ。

方針

対称性を利用するのが良い。$(2)$は$(1)$をヒントに、$(3)$は$(2)$をヒントに同様の式をいくつか作る。

解答

$(1)$ $X$が$n$秒のときに$Q$上にあるとき、$n+2$秒後に点$A, B, C, D$以外から点$A$に移動することはない。$n$秒のときに点$A$にいて、$n+2$秒のときにも点$A$にいる確率は、行って戻ってくる確率なので、$(p^2+q^2+r^2)a_{n}$である。$n$秒のときに点$B$にいて、$n+2$秒のときに点$A$にいる確率は、$x\rightarrow y$と進むか、$y\rightarrow x$と進む確率なので、$2pqb_n$である。$n$秒のときに点$C$にいて、$n+2$秒のときに点$A$にいる確率は、$x\rightarrow z$と進むか、$z\rightarrow x$と進む確率なので、$2rpc_n$である。$n$秒のときに点$D$にいて、$n+2$秒のときに点$A$にいる確率は、$y\rightarrow z$と進むか、$z\rightarrow y$と進む確率なので、$2qrd_n$である。以上から、$\underline{a_{n+2} = (p^2+q^2+r^2)a_n + 2pqb_n + 2rpc_n + 2qrd_n}$となる。

$(2)$ $(1)$と同様に考えると、以下の漸化式が成り立つ。$$\begin{eqnarray}a_{n+2} & = & (p^2+q^2+r^2)a_n + 2pqb_n + 2rpc_n + 2qrd_n\\ b_{n+2} & = & 2pqa_n + (p^2+q^2+r^2)b_n + 2qrc_n + 2rpd_n\\ c_{n+2} & = & 2rpa_n + 2qrb_n + (p^2+q^2+r^2)c_n + 2pqd_n\\ d_{n+2} & = & 2qra_n + 2rpb_n + 2pqc_n + (p^2+q^2+r^2)d_n\end{eqnarray}$$これから、$$\begin{eqnarray}a_{n+2}-b_{n+2}+c_{n+2}-d_{n+2} & = & (p^2+q^2+r^2-2pq+2rp-2qr)(a_n-b_n+c_n-d_n)\end{eqnarray}$$となる。$p^2+q^2+r^2-2pq+2rp-2qr = (p-q+r)^2$であり、$a_0-b_0+c_0-d_0 = 1$であるから、$n$が偶数のとき、$\underline{a_n-b_n+c_n-d_n = (p-q+r)^{n}}$であり、$n$が奇数のとき、$\underline{a_n-b_n+c_n-d_n = 0}$となる。

$(3)$ $(2)$と同様に、$$\begin{eqnarray}a_{n+2}+b_{n+2}-c_{n+2}-d_{n+2} & = & (p^2+q^2+r^2+2pq-2qr-2rp)(a_n+b_n-c_n-d_n)\\ & = & (p+q-r)^2(a_n+b_n-c_n-d_n)\end{eqnarray}$$であるから、$n$が偶数のとき、$a_n+b_n-c_n-d_n = (p+q-r)^{n}$である。また、$$\begin{eqnarray}a_{n+2}-b_{n+2}-c_{n+2}+d_{n+2} & = & (p^2+q^2+r^2-2pq+2qr-2rp)(a_n-b_n-c_n+d_n)\\ & = & (p-q-r)^2(a_n+b_n-c_n-d_n)\end{eqnarray}$$であるから、$n$が偶数のとき、$a_n-b_n-c_n+d_n = (p-q-r)^{n}$である。$(2)$も利用して並べて書くと、$n$が偶数のとき$a_n+b_n+c_n+d_n = 1$であるから、$$\begin{eqnarray}a_n+b_n+c_n+d_n & = & 1\\ a_n-b_n+c_n-d_n & = & (p-q+r)^{n}\\ a_n+b_n-c_n-d_n & = & (p+q-r)^{n}\\ a_n-b_n-c_n+d_n & = & (p-q-r)^{n}\end{eqnarray}$$である。この式をすべて足して、$\displaystyle \underline{a_n = \frac{1+(p-q+r)^{n}+(p+q-r)^{n}+(p-q-r)^{n}}{4}}$となる。また、$n$が奇数のときは、$\underline{a_n = 0}$である。

解説

典型的な漸化式の問題であるが、自分で立式する必要がありそれなりに難しい。ちなみに、$p+q+r=1$であるから、例えば$$\begin{eqnarray}p-q+r & = & 1-q-q\\ & = & 1-2q\end{eqnarray}$$であり、$0\leq q\leq 1$であるから、$-1\leq 1-2q\leq 1$である。$1-2q = -1$となるときは、$q = 1$のときで、このとき$p = r = 0$であるから、$\displaystyle a_n = \frac{1+(-1)^n+1+(-1)^n}{4}$となる。したがって、$n$が偶数のとき$a_n = 1$で、$n$が奇数のときは$a_n = 0$となる。このように、$q = 1$あるいは$p = 1$、または$r = 1$となるような場合を除いて$|p-q+r| < 1$などとなるから、$n\to \infty$で$\displaystyle a_n\to \frac{1}{4}$となる。これは、長い時間が経てば$n$が偶数のとき点$X$は$A, B, C, D$のどれかに存在するということで、自然な結論だろう。