[math][東京工業大学][微分]2017年東京工業大学数学問題2

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問題

実数$x$の関数$\displaystyle f(x) = \int_{x}^{x+\frac{\pi}{2}}{\frac{|\sin{t}|}{1+\sin^2{t}}dt}$の最大値と最小値を求めよ。

方針

もちろん場合分けが必要である。

解答

$\displaystyle g(t) = \frac{|\sin{t}|}{1+\sin^2{t}}$とすると、$|\sin{t}|, 1+\sin^2{t}$の周期は$\pi$であるから、$g(t)$は周期関数で、周期は$\pi$である。したがって、$0\leq x\leq \pi$で考える。

$(i)$ $\displaystyle 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$のとき、$$\begin{eqnarray}\frac{|\sin{t}|}{1+\sin^2{t}} & = & \frac{\sin{t}}{2-\cos^2{t}}\\ & = & \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{\sin{t}}{\sqrt{2}+\cos{t}}+\frac{\sin{t}}{\sqrt{2}-\cos{t}}\right)\end{eqnarray}$$であるから、$$\begin{eqnarray}f(x) & = & \int_{x}^{x+\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin{t}}{1+\sin^2{t}}dt}\ \tag{a}\label{a}\\ & = & \frac{1}{2\sqrt{2}}\int_{x}^{x+\frac{\pi}{2}}{\left(\frac{\sin{t}}{\sqrt{2}+\cos{t}}+\frac{\sin{t}}{\sqrt{2}-\cos{t}}\right)dt}\\ & = & \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[-\log{(\sqrt{2}+\cos{t})}+\log{(\sqrt{2}-\cos{t})}\right]_{x}^{x+\frac{\pi}{2}}\\ & = & \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\log{\frac{\sqrt{2}+\sin{x}}{\sqrt{2}-\sin{x}}}-\log{\frac{\sqrt{2}-\cos{x}}{\sqrt{2}+\cos{x}}}\right) \\ & = & \frac{1}{2\sqrt{2}}\log{\left(\frac{\sqrt{2}+\sin{x}}{\sqrt{2}-\sin{x}}\cdot\frac{\sqrt{2}+\cos{x}}{\sqrt{2}-\cos{x}}\right)} \tag{b}\label{b}\end{eqnarray}$$であるが、\eqref{a}から$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & \frac{\cos{x}}{1+\cos^2{x}}-\frac{\sin{x}}{1+\sin^2{x}}\\ & = & \frac{(\cos{x}-\sin{x})(1-\cos{x}\sin{x})}{(1+\cos^2{x})(1+\sin^2{x})}\\ & = & \frac{(\cos{x}-\sin{x})(1-\frac{\sin{2x}}{2})}{(1+\cos^2{x})(1+\sin^2{x})} \end{eqnarray}$$であるから、$f(x)$の増減は以下の表のようになる。\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline x & 0 & \cdots & \frac{\pi}{4} & \cdots & \frac{\pi}{2} \\ \hline f^{\prime}(x) &\frac{1}{2} & + & 0 & – & -\frac{1}{2} \\ \hline f(x) & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline \end{array}

\eqref{b}から、$\displaystyle f(0) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}}\log{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}=\frac{\log{(\sqrt{2}+1)}}{\sqrt{2}}$である。また、$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)= \frac{\log{3}}{\sqrt{2}}$である。

$(ii)$ $\displaystyle \frac{\pi}{2}\leq x\leq \pi$のとき、$$\begin{eqnarray}f(x) & = & \int_{x}^{\pi}{\frac{\sin{t}}{1+\sin^2{t}}dt}-\int_{\pi}^{x+\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin{t}}{1+\sin^2{t}}dt} \tag{c}\label{c}\\ & = & \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[-\log{(\sqrt{2}+\cos{t})}+\log{(\sqrt{2}-\cos{t})}\right]_{x}^{\pi}-\\ & & \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[-\log{(\sqrt{2}+\cos{t})}+\log{(\sqrt{2}-\cos{t})}\right]_{\pi}^{x+\frac{\pi}{2}}\\ & = & \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\log{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}-\log{\frac{\sqrt{2}-\cos{x}}{\sqrt{2}+\cos{x}}}\right. \\ & & \left.-\log{\frac{\sqrt{2}+\sin{x}}{\sqrt{2}-\sin{x}}}+\log{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}\right)\\ & = & \sqrt{2}\log{(\sqrt{2}+1)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\log{\frac{\sqrt{2}-\cos{x}}{\sqrt{2}+\cos{x}}\cdot \frac{\sqrt{2}+\sin{x}}{\sqrt{2}-\sin{x}}} \tag{d}\label{d}\end{eqnarray}$$であるが、\eqref{c}から$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & -\frac{\sin{x}}{1+\sin^2{x}}-\frac{\cos{x}}{1+\cos^2{x}}\\ & = & -\frac{(\cos{x}+\sin{x})(1+\cos{x}\sin{x})}{(1+\cos^2{x})(1+\sin^2{x})}\\ & = & -\frac{(\cos{x}+\sin{x})(1-\frac{\sin{2x}}{2})}{(1+\cos^2{x})(1+\sin^2{x})}\end{eqnarray}$$であるから、$f(x)$の増減は以下の表のようになる。\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline x & \frac{\pi}{2} & \cdots & \frac{3}{4}\pi & \cdots & \pi \\ \hline f^{\prime}(x) & & – & & + & \\ \hline f(x) & & \searrow & & \nearrow & \\ \hline \end{array}

\eqref{d}から、$\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}}\log{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}=\frac{\log{(\sqrt{2}+1)}}{\sqrt{2}}$で$\displaystyle 0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$のときと一致する。また、$\displaystyle f(\pi) = \frac{\log{(\sqrt{2}+1)}}{\sqrt{2}}$である。さらに、$\displaystyle f\left(\frac{3\pi}{4}\right)= \sqrt{2}\log{(\sqrt{2}+1)}-\frac{\log{3}}{\sqrt{2}}$である。

以上から、$f(x)$の最大値は$\displaystyle \underline{\frac{\log{3}}{\sqrt{2}}}$であり、最小値は$\displaystyle \underline{\sqrt{2}\log{(\sqrt{2}+1)}-\frac{\log{3}}{\sqrt{2}}}$である。

解説

やることは決して難しくはないが計算量は多い。このような場合はミスをできるだけ減らすため、解答中の\eqref{a}や\eqref{c}の形にしておいてから微分すると良い。積分してから微分しようとするとミスのもとになる。ただし、問題文では最大値、最小値を求めよ、とあるのでいずれにしろ積分計算はしておく必要がある。