[math][東京工業大学][複素数平面]2017年東京工業大学数学問題5

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2023.02.20

問題
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問題

実数$a, b, c$に対して$F(x) = x^4+ax^3+bx^2+ax + 1, f(x) = x^2+cx+1$とおく。また、複素数平面内の単位円周から$2$点$1, -1$を除いたものを$T$とする。
$(1)$ $f(x) = 0$の解がすべて$T$上にあるための必要十分条件を$c$を用いて表わせ。
$(2)$ $F(x) = 0$の解がすべて$T$上にあるならば、$$F(x) = (x^2+c_1x+1)(x^2+c_2x+1)$$を満たす実数$c_1, c_2$が存在することを示せ。
$(3)$ $F(x) = 0$の解がすべて$T$上にあるための必要十分条件を$a, b$を用いて表し、それを満たす点$(a, b)$の範囲を座標平面上に図示せよ。

方針

誘導に従う。

解答

$(1)$ $f(x) = 0$の解が実数のときは適さない。したがって$c^2-4 < 0$が必要で、$f(x) = 0$の解は$\displaystyle x = \frac{-c\pm i\sqrt{4-c^2}}{2}$となる。この解の絶対値は、$$\begin{eqnarray}\left(-\frac{c}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{4-c^2}}{2}\right)^2 & = & 1\\ \end{eqnarray}$$であるから、解が虚数のとき$f(x) = 0$の解はすべて$T$上にある。よって、求める必要十分条件は$\underline{-2<c<2}$である。

$(2)$ $F(x) = 0$の解がひとつでも実数のときは適さない。$p, q, r, s$を実数として、虚数解を順に$p\pm qi, r\pm si$とすると、$$\begin{cases}p^2+q^2 & = & 1\\ r^2+s^2 & = & 1\end{cases}$$である。このとき、$$\begin{eqnarray}(x-(p+qi))(x-(p-qi)) & =& x^2-2px+p^2+q^2 \\ & = & x^2-2px+1\\ (x-(r+si))(x-(r-si)) & = & x^2-2rx+r^2+s^2\\ & = & x^2-2rx + 1\end{eqnarray}$$である。したがって、$$F(x) = (x^2-2px+1)(x^2-2rx+1)$$となり、$c_1 = -2p, c_2 = -2r$とすれば題意が成り立つ。

$(3)$ $(2)$から、$$\begin{eqnarray}F(x) & = & (x^2+c_1x+1)(x^2+c_2x+1)\\ & = & x^4 + (c_1+c_2)x^3+(c_1c_2+2)x^2+(c_1+c_2)x + 1\end{eqnarray}$$である。係数を見比べて、$$\begin{cases}a & = & c_1+c_2\\ b & = & c_1c_2+2\end{cases}$$である。したがって、$$X^2-aX+b-2 = 0$$が$-2<X<2$に（重解も含めて）$2$つの実数解を持つような$a, b$の条件を求めれば良い。左辺を変形すると、$$\left(X-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+b-2$$であるから、求める条件は$$\begin{cases} \displaystyle -2 < \frac{a}{2} < 2\\ \displaystyle -\frac{a^2}{4}+b-2 < 0\\ (\pm 2)^2-a(\pm 2)+b-2 > 0\end{cases}$$である。整理すると、$$\begin{cases}-4 < a < 4\\ \displaystyle b < \frac{a^2}{4}+2\\ b > 2a-2\\ b > -2a-2\end{cases}$$となる。$ab$平面にこれを図示すると、以下の図の斜線部のようになる。