[math][京都大学][微分]2023年京都大学理系数学問題4

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2023.03.05

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問題

次の関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。$$f(x) = e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1+\frac{1}{e^{-x^2}+\frac{1}{4}x^2+1}\ \ \ (-1\leq x\leq 1)$$ただし、$e$は自然対数の底であり、その値は$e = 2.71\cdots$である（$35$点）。

方針

$x^2 = t$とおく。

解答

$x^2 = t$とすると、$0\leq t\leq 1$である。すると、$$f(x) = e^{-t}+\frac{1}{4}t+1+\frac{1}{e^{-t}+\frac{1}{4}t+1}$$である。$\displaystyle g(x) = e^{-t}+\frac{1}{4}t+1$とする。このとき、$$\begin{eqnarray}g^{\prime}(t) & = & -e^{-t}+\frac{1}{4}\\ & = & \frac{-4+e^{t}}{4e^{t}}\end{eqnarray}$$となる。$0\leq t\leq 1$で$-4+e^{t}\leq 0$であるから、$g(t)$は減少関数である。したがって、$\displaystyle g(1) = e^{-1}+\frac{5}{4}\leq g(t)\leq g(0) = 2$となる。$g(t)$を変数と見て、$g(t) = X, f(t) = F(X)$とすると、$\displaystyle e^{-1}+\frac{5}{4}\leq X\leq 2$であり、$$\begin{eqnarray}F(X) & = & X + \frac{1}{X}\\ F^{\prime}(X) & = & 1-\frac{1}{X^2}\\ & = & \frac{X^2-1}{X^2}\\ & = & \frac{(X-1)(X+1)}{X^2}\end{eqnarray}$$となる。これは$\displaystyle e^{-1}+\frac{5}{4}\leq X\leq 2$で正であるから、$F(X)$は増加関数である。$\displaystyle F\left(e^{-1}+\frac{5}{4}\right) = e^{-1}+\frac{5}{4}+\frac{1}{e^{-1}+\frac{5}{4}}, F(2) = \frac{5}{2}$であるから、$f(x)$の最大値は$\displaystyle \underline{\frac{5}{2}}$は、最小値は$\displaystyle \underline{e^{-1}+\frac{5}{4}+\frac{1}{e^{-1}+\frac{5}{4}}}$となる。