問題
次の各問に答えよ。（\(35\)点）
問\(1\ \ \) 定積分\(\displaystyle \int_{1}^{4}{\sqrt{x}\log{(x^2)}dx}\)の値を求めよ。
問\(2\ \ \) 整式\(x^{2023}-1\)を整式\(x^4+x^3+x^2+x+1\)で割ったときの余りを求めよ。
方針
京都大学理系の受験生であるならば、この程度は難なくこなしてほしいところであるが。
解答
問\(1\) $$\begin{eqnarray}\int_{1}^{4}{\sqrt{x}\log{(x^2)}dx} & = & \int_{1}^{4}{2\left(\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\right)^{\prime}\log{x}dx}\\ & = & \left[\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}\log{x}\right]_{1}^{4}-\int_{1}^{4}{\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}\cdot \frac{1}{x}dx}\\ & = & \frac{64}{3}\log{2}-\frac{8}{9}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{4}\\ & = & \underline{\frac{192\log{2}-56}{9}}\end{eqnarray}$$
問\(2\) $$1+x+x^2+x\cdots + x^{2022} = \frac{x^{2023}-1}{x-1}$$であるから、$$x^{2023}-1 = (x-1)(1+x+x^2+\cdots + x^{2022})$$である。ここで、\(y = x^4+x^3+x^2+x+1\)とすると、$$\begin{eqnarray}x^{2022}+x^{2021}+\cdots + x+1 & = & x^{2018}y + x^{2013}y + \cdots + x^3y + x^2+x+1\end{eqnarray}$$であるから、$$\begin{eqnarray}x^{2023}-1 & = & (x-1)y(x^{2018}+x^{2013}+\cdots + x^3)+(x-1)(x^2+x+1)\end{eqnarray}$$となり、\(x^{2023}-1\)を\(y = x^4+x^3+x^2+1\)で割った余りは、\((x-1)(x^2+x+1) = \underline{x^3-1}\)となる。
解説
特になし。
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