[math][京都大学][整数]2023年京都大学理系数学問題6

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問題

$p$を$3$以上の素数とする。また、$\theta$を実数とする。
$(1)$ $\cos{3\theta}$と$\cos{4\theta}$を$\cos{\theta}$の式として表わせ。
$(2)$ $\displaystyle \cos{\theta} = \frac{1}{p}$のとき、$\displaystyle \theta = \frac{m}{n}\cdot \pi$となるような正の整数$m, n$が存在するか否かを理由をつけて判定せよ。

方針

既出感のある出題であるが・・・。

$(1)$ これがヒントになる。

$(2)$ 題意を示すためには$\cos{n\theta} = f(\cos{\theta})$と表したときに、この$f$についてどのようなことが言えればよいのかを考える。

解答

$(1)$ $\cos{\theta} = t$とおくと、$$\begin{eqnarray}\cos{3\theta} & = & \cos{2\theta}\cos{\theta}-\sin{\theta}\sin{2\theta}\\ & = & (2t^2-1)t-2(1-t^2)t\\ & = & 4t^3-3t\\ \cos{4\theta} & = & \cos{2\theta}\cos{2\theta}-\sin{2\theta}\sin{2\theta}\\ & = & (2t^2-1)^2-4t^2(1-t^2)\\ & = & 8t^4-8t^2+1\end{eqnarray}$$となる。よって、$\underline{\cos{3\theta}=4\cos^3{\theta}-3\cos{\theta}}$, $\underline{\cos{4\theta} = 8\cos^4{\theta}-8\cos^2{\theta}+1}$である。

$(2)$ $\displaystyle \cos{\theta} = \frac{1}{p}$のとき、$\displaystyle \theta = \frac{m}{n}\cdot \pi$となるような正の整数$m, n$が存在することを仮定する。このとき、$n\theta = m\pi$であるから、$\cos{n\theta} = \cos{m\pi} = (-1)^m$である。

$\cos{n\theta}$について、以下のことが成り立つ。
$(i)$ $\cos{\theta}$の整数係数多項式である。
$(ii)$ 最大次数は$n$で、最大次数の係数は$2^{n-1}$である。

このことを数学的帰納法で示す。$\cos{1\cdot \theta} = \cos{\theta}, \cos{2\cdot \theta} = 2\cos^2{\theta}-1$であるから、$k = 1, 2$で正しく、ある$k$までの成立を仮定すると、$$\begin{eqnarray}\cos{(k+1)\theta} & = & \cos{k\theta}\cos{\theta}-\sin{k\theta}\sin{\theta}\\ \cos{(k-1)\theta} & = & \cos{k\theta}\cos{\theta}+\sin{k\theta}\sin{\theta}\end{eqnarray}$$であり、両辺を足して$$\cos{(k+1)\theta}+\cos{(k-1)\theta} = 2\cos{k\theta}\cos{\theta}$$したがって、$$\cos{(k+1)\theta} = 2\cos{\theta}\cos{k\theta}-\cos{(k-1)\theta}$$であるので、$$\begin{eqnarray}\cos{(k+1)\theta} & = & 2\cos{\theta}(2^{k-1}\cos^{k}{\theta}+\cdots) -(2^{k-2}\cos^{k-1}{\theta}+\cdots)\\ & = & 2^{k}\cos^{k+1}{\theta}+\cdots\end{eqnarray}$$となり、$(i), (ii)$は正しい。さて、このとき$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{1}{p}$であるから、$\cos{n\theta} = (-1)^m$より$$\frac{2^{n-1}}{p^{n}} + \cdots = (-1)^m$$となる。両辺に$p^n$を掛けて、$$2^{n-1}+p\times g(p) = (-1)^{m}p^{n} \tag{a}\label{a}$$となる。ただし、$g(p)$は$p$の整数係数多項式である。$p$は$3$以上の素数なので、\eqref{a}の右辺は$p$で割り切れるが、左辺は割り切れず、矛盾である。したがって、$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{1}{p}$のとき$\displaystyle \theta = \frac{m}{n}\cdot \pi$を満たす正の整数$m, n$は存在しない。

解説

かつて京都大学や東京大学ではチェビシェフ多項式についての出題が頻出であったが、近年は見かけることが少ない。このサイトでも何度もチェビシェフ多項式については取り上げているが、初めて見た受験生にとっては過酷な出題であったことだろう。下の関連問題をよく読んでいただければ良い。

ちなみに、$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{1}{p}$で$p$が$3$以上の素数でないときは、$p = 2$ならば$\cos{3\theta} = -1$となる。$p$が$2$以上のときは果たしてどうであろうか。例えば、$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{1}{6}$のときに、$\cos{n\theta} = \pm 1$となることがあるかどうかを考えてみることは、とても良い練習になるだろう。