[math][京都大学][確率]2023年京都大学理系数学問題3

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2023.03.09

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問題

\(n\)を自然数とする。\(1\)個のさいころを\(n\)回投げ、出た目を順に\(X_1, X_2, \cdots, X_n\)とし、\(n\)個の数の積\(X_1X_2\cdots X_n\)を\(Y\)とする。
\((1)\) \(Y\)が\(5\)で割り切れる確率を求めよ。
\((2)\) \(Y\)が\(15\)で割り切れる確率を求めよ。

方針

1992年の前期試験でほとんど同様の問題がある。

解答

\((1)\) \(1\)回でも\(5\)が出れば\(Y\)は\(5\)で割り切れる。\(1\)回も\(5\)が出ない確率は\(\displaystyle \left(\frac{5}{6}\right)^n\)であるから、求める確率は\(\displaystyle \underline{1-\left(\frac{5}{6}\right)^n}\)である。

\((2)\) \(n = 1\)のときは\(Y\)が\(15\)で割り切れる確率は\(0\)である。\(n\geq 2\)のときを考える。\(Y\)が\(3\)で割り切れる確率は\(3\)か\(6\)が\(1\)回でも出れば良いので、\((1)\)と同様に考えて\(\displaystyle 1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\)となる。\(3\)か\(5\)か\(6\)かどれかが出る確率は、これも余事象を考えて\(\displaystyle 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\)となる。よって、求める確率は\(\displaystyle 1-\left(\frac{5}{6}\right)^n+1-\left(\frac{2}{3}\right)^n-\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right) = \underline{1-\left(\frac{5}{6}\right)^n-\left(\frac{2}{3}\right)^n+\left(\frac{1}{2}\right)^n}\)である。これは\(n = 1\)のとき\(0\)になり、したがって\(n = 1\)でも成立する。

解説

1992年の問題がこちらである。

サイコロを繰り返し\(n\)回振って、でための数を掛け合わせた積を\(X\)とする。すなわち、\(k\)回目に出た目の数を\(Y_k\)とすると、\(X = Y_1Y_2\cdots Y_n\)
\((1)\) \(X\)が\(3\)で割り切れる確率\(p_n\)を求めよ。
\((2)\) \(X\)が\(6\)で割り切れる確率\(q_n\)を求めよ。

こちらの答えは、\((1)\)が\(\displaystyle p_n = 1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\)で、\((2)\)が\(\displaystyle 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n-\left(\frac{2}{3}\right)^n+\left(\frac{1}{3}\right)^n\)となる。