[math][京都大学][空間図形][積分]2023年京都大学理系数学問題5

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問題

$O$を原点とする$xyz$空間において、点$P$と点$Q$は次の$3$つの条件$(a), (b), (c)$を満たしている。
$(a)$ 点$P$は$x$軸上にある。
$(b)$ 点$Q$は$yz$平面上にある。
$(c)$ 線分$OP$と線分$OQ$の長さの和は$1$である。
点$P$と点$Q$が条件$(a), (b), (c)$を満たしながらくまなく動くとき、線分$PQ$が通過してできる立体の体積を求めよ。

方針

平面に落として考えると良い。

解答

点$P$の座標を$(p, 0, 0)$とする。対称性から$p\geq 0$のときと$p\leq 0$のときは同じ形状になるので、$p\geq 0$のときを考え体積を$2$倍する。点$Q$の座標を$(0, q, r)$とすると、条件$(c)$から$$p+\sqrt{q^2+r^2} = 1$$である。これから$p\leq 1$で、点$Q$は$O$を中心とする半径${1-p}$の円周上にある。点$P$を固定して、平面$z = 0$で線分$PQ$を見ると、以下の図のようになる。

この直線の方程式は$\displaystyle \frac{x}{p}+\frac{y}{1-p} = 1\ \ (0\leq x \leq 1, 0\leq y \leq 1)$である。ただし、$0<p<1$とする。変形して$(1-p)x+py = p(1-p)$とすれば、$p = 0, 1$のときも成り立つ。$p$が動くとき、線分$PQ$が通過してできる曲線を求める。$$(1-p)x + py = p(1-p) \tag{a}\label{a}$$が$0\leq p\leq 1$に少なくとも$1$つの実数解を持つような$x, y$の条件を求めれば良い。\eqref{a}を変形して$f(p) = p^2+p(-x+y-1)+x = 0$としておく。この判別式は$D = (-x+y-1)^2-4x \geq 0$が必要である。このとき、$f(0) = x\geq0, f(1) = y\geq 0$であるから、$f(p)$の軸$\displaystyle p_0 = \frac{x-y+1}{2}$について、$0\leq p_0\leq 1$が必要である。これは計算すると$x-1\leq y\leq x+1$となる。以上から、$f(p) = 0$が$0\leq p\leq 1$に少なくとも一つの実数解を持つ条件は$$\begin{cases}x-1\leq y\leq x+1\\ (-x+y-1)^2-4x\geq 0\end{cases} \tag{b}\label{b}$$となる。\eqref{b}の上の式から$-x+y-1\leq 0$であるから、下の式を変形すると、$\displaystyle -(-x+y-1)\geq 2\sqrt{x}$であり、更に変形して$y \leq x-2\sqrt{x}+1 = (\sqrt{x}-1)^2$となる。図示すると以下の様になる。

体積は、この曲線を$x$軸の周りに$1$回転したものなので、$$\begin{eqnarray}\frac{V}{2} & = & \int_{0}^{1}{\pi(\sqrt{x}-1)^4dx}\\ & = & \pi\int_{0}^{1}{(x-2\sqrt{x}+1)^2dx}\\ & = & \pi\int_{0}^{1}{(x^2+4x+1-4x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+2x)dx}\\ & = & \pi\left[\frac{x^3}{3}+2x^2+x-\frac{8}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}}+x^2\right]_{0}^{1}\\ & = & \pi\left(\frac{1}{3}+2+1-\frac{8}{5}-\frac{8}{3}+1\right)\\ & = & \frac{1}{15}\pi\end{eqnarray}$$である。よって、求める体積は$\displaystyle \underline{V = \frac{2\pi}{15}}$となる。

解説

このような立体図形の問題で、積分を求める場合、まず考えるべきは曲線の方程式、あるいはある平面で切った立体の曲面の方程式を求めることである。積分するのに方程式がないのでは話にならない。図形的な考察は大事なのであるが、目標を誤ってはいけない。方程式が求まれば、適当な断面で切ってやれば面積や体積を求めることができる。

$\displaystyle \frac{x}{p}+\frac{y}{1-p} = 1 \ \ (0<p<1)$が出た後は、解答では二次方程式の解の配置の問題に帰着させている。そのままの形で分数関数と考えて微分しても良いだろう。考えることはある意味一本道であるし、図形の性状もそれほど複雑ではないが、自分ですべて考えていけないところが受験生には難しく感じるだろう。京都大学ではこの10数年、誰にとっても難しい難問ではなく、このレベルの問題を自分の力で考えさせる出題スタイルが定着している。これで十分受験生の実力を見ることができているのであろう。

解答の$y = (\sqrt{x}-1)^2$は無数個の直線$\displaystyle \frac{x}{p}+\frac{y}{1-p} = 1 \ \ (0<p<1)$に接する包絡線と呼ばれる。