[math][京都大学][ベクトル]2023年京都大学理系数学問題2

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2023.03.14

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問題

空間内の$4$点$O, A, B, C$は同一平面上にないとする。点$D, P, Q$を次のように定める。点$D$は$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}$を満たし、点$P$は線分$OA$を$1:2$に内分し、点$Q$は線分$OB$の中点である。さらに、直線$OD$上の点$R$を、直線$QR$と直線$PC$が交点を持つように定める。このとき、線分$OR$の長さと線分$RD$の長さの比$OR: RD$を求めよ。

方針

一次独立を利用する。

解答

ベクトル$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$などと記載する。$$\begin{cases}\overrightarrow{d} & = & \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{p} & = & \displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{a}\\ \overrightarrow{q} & = & \displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{b}\end{cases}\tag{a}\label{a}$$である。題意から、$x, y$を実数として$$(1-x)\overrightarrow{q} + x\overrightarrow{r} = (1-y)\overrightarrow{c} + y\overrightarrow{p}\tag{b}\label{b}$$である。\eqref{a}と、$z$を実数、$\overrightarrow{r} = z\overrightarrow{d}$として\eqref{b}に代入すると、$$xz\overrightarrow{a} +\left(2xz+\frac{1-x}{2}\right)\overrightarrow{b} + 3xz\overrightarrow{c} = \frac{y}{3}\overrightarrow{a} + (1-y)\overrightarrow{c}$$である。係数を比べて、$$\begin{cases}xz = \displaystyle \frac{y}{3}\\ \displaystyle 2xz+\frac{1-x}{2} = 0\\ 3xz = 1-y\end{cases}$$である。これを解くと、$\displaystyle x = \frac{5}{3}, y = \frac{1}{2}, z = \frac{1}{10}$となるから、$\underline{OR: RD = 1:9}$となる。