[math][東京工業大学]2023年東京工業大学数学問題5

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問題

$xyz$空間の$4$点$A(1, 0, 0), B(1, 1, 1), C(-1, 1, -1), D(-1, 0, 0)$を考える。
$(1)$ $2$直線$AB, BC$から等距離にある点全体のなす図形を求めよ。
$(2)$ $4$直線$AB, BC, CD, DA$に共に接する球面の中心と半径の組をすべて求めよ。

方針

式で考えるようにする。

解答

$(1)$ 直線$AB$の方程式は$x = 1, y = z$であり、直線$BC$の方程式は$y = 1, x = z$である。点$(X, Y, Z)$がこの$2$直線から等距離にあるとき、$$\left(\frac{|Y-Z|}{\sqrt{2}}\right)^2 + |X-1|^2 = \left(\frac{|X-Z|}{\sqrt{2}}\right)^2 + |Y-1|^2$$が成り立つ。変形して、$$\begin{eqnarray}Y^2-2YZ+Z^2 + 2(X^2-2X+1) & = & X^2-2XZ+Z^2+2(Y^2-2Y+1)\\ \iff X^2+2(Z-2)X-(Y^2+2(Z-2)Y) & = & 0\\ \iff X^2+2(Z-2)Y-Y(Y+2Z-4) & = & 0 \\ \iff (X-Y)(X+Y+2Z-4) & = & 0\end{eqnarray}$$となる。したがって、求める図形は$\underline{x-y = 0, x+y+2z-4 = 0}$となる。

$(2)$ 直線$CD$の方程式は$x = -1, y = -z$であり、直線$DA$は$x$軸である。求める円の中心を$(a, b, c)$、半径を$d (>0)$とする。この円と直線$AB, BC, CA, DA$との距離は順に以下のようになる。$$\begin{eqnarray}r^2 & = & \left(\frac{b-c}{\sqrt{2}}\right)^2+(a-1)^2 \tag{1}\label{1}\\ & = & \left(\frac{a-c}{\sqrt{2}}\right)^2+(b-1)^2 \tag{2}\label{2}\\ & = & \left(\frac{b+c}{\sqrt{2}}\right)^2+(a+1)^2 \tag{3}\label{3}\\ & = & b^2+c^2 \tag{4}\label{4}\end{eqnarray}$$となる。\eqref{1}, \eqref{2}を連立させると、$(1)$から$a-b = 0$または$a+b+2c-4 = 0$となる。\eqref{1}と\eqref{3}を連立させると、$$\begin{eqnarray}(b-c)^2+2(a-1)^2 & = & (b+c)^2+2(a+1)^2\\ \iff -2bc-4a & = & 2bc+4a\\ \iff 2a+bc & = & 0 \tag{5}\label{5}\end{eqnarray}$$となる。\eqref{1}と\eqref{4}を連立させると、$$\begin{eqnarray}(b-c)^2 + 2(a-1)^2 & = & 2(b^2+c^2)\\ \iff b^2-2bc+c^2+2(a-1)^2 & = & 2b^2+2c^2\\ \iff 2(a-1)^2 & = & b^2+2bc+c^2 \\ \iff 2(a-1)^2 & = & (b+c)^2 \tag{6}\label{6}\end{eqnarray}$$となる。
$\ \ (i)$ $a = b$のとき、\eqref{5}に代入して、$a(2+c) = 0$となる。したがって、$a = 0$または$c = -2$となる。$a = 0$のとき、$b = 0$で、\eqref{6}から$c = \pm \sqrt{2}$となる。すると、\eqref{4}から$d = \sqrt{2}$となる。$c = -2$のとき、\eqref{6}から$2(a-1)^2 = (a-2)^2$となる。これから$\displaystyle a = \pm\sqrt{2}$となる。すると、$b = a = \pm\sqrt{2}$で、\eqref{4}から$d = \sqrt{6}$となる。
$\ \ (ii)$ $a+b+2c-4 = 0$のとき、\eqref{5}を代入して、 $$-\frac{bc}{2} + b + 2c-4 = 0$$である。整理すると、$(b-4)(c-2) = 0$となる。したがって、$b = 4$または$c = 2$となる。$b = 4$のとき、\eqref{5}から$2a+4c = 0$であり、$a = -2c$となるから、\eqref{6}に代入すると、$$\begin{eqnarray}2(-2c-1)^2 & = & (4+c)^2\end{eqnarray}$$である。これから$c = \pm\sqrt{2}$となる。すると、$a = \mp2\sqrt{2}$である。\eqref{4}から、$d = 3\sqrt{2}$となる。$c = 2$のとき、\eqref{5}から$2a+2b = 0$で、$b = -a$となる。\eqref{6}から$$2(a-1)^2 = (-a+2)^2$$である。これから$a = \pm\sqrt{2}$となる。したがって、$b = \mp\sqrt{2}$である。\eqref{4}から$d = \sqrt{6}$となる。

以上から、題意を満たす球面の中心と半径の組は、$\underline{(0, 0, \pm\sqrt{2}, \sqrt{2}), (\pm\sqrt{2}, \pm\sqrt{2}, -2, \sqrt{6}), (\mp 2\sqrt{2}, 4, \pm\sqrt{2}, 3\sqrt{2}), (\pm\sqrt{2}, \mp\sqrt{2}, 2, \sqrt{6})}$となる。ただし、複号同順とする。

解説

直線$AB$の方程式は簡単にわかる。この直線と点$(X, Y, Z)$との距離であるが、まず次のように$x = X$で切った$yz$平面を考える。この平面上の直線$y = z$と、点$(X, Y, Z)$との距離は点と距離の公式から$\displaystyle \frac{|Y-Z|}{\sqrt{2}}$である。さらに、この平面$x = X$と平面$x = 1$との距離が$|X-1|$であるから、点$(X, Y, Z)$と直線$x = 1, y = z$との距離は$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{|Y-Z|}{\sqrt{2}}\right)^2+(x-1)^2}$となる。他についても同様である。ややこしい考え方をしなければ、難しい問題ではない。