[math][東京大学][空間座標]2023年度東京大学理系数学問題6

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問題

$O$を原点とする座標空間において、不等式$|x|\leq 1, |y|\leq 1, |z|\leq 1$の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、$z < 1$を満たす部分を$S$とする。以下、座標空間内の$2$点$A, B$が一致するとき、線分$AB$は点$A$を表すものとし、その長さを$0$と定める。
$(1)$ 座標空間内の点$P$が次の条件$(i), (ii)$をともに満たすとき、点$P$が動きうる範囲$V$の体積を求めよ。
$\ \ \ (i)$ $OP \leq \sqrt{3}$
$\ \ \ (ii)$ 線分$OP$と$S$は、共有点を持たないか、点$P$のみを共有点に持つ。
$(2)$座標空間内の点$N$と点$P$が次の条件$(iii), (iv), (v)$をすべて満たすとき、点$P$が動きうる範囲$W$の体積を求めよ。必要ならば、$\displaystyle \sin{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{3}}$を満たす実数$\displaystyle \alpha \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$を用いてよい。
$\ \ \ (iii)$ $ON+NP\leq \sqrt{3}$
$\ \ \ (iv)$ 線分$ON$と$S$は共有点を持たない。
$\ \ \ (v)$ 線分$NP$と$S$は、共有点を持たないか、点$P$のみを共有点に持つ。

方針

$(2)$ もちろん断面を考えるが、$z$軸に垂直に切ると難しくなる。（後で気がつくが、）誘導からも、$z$軸に平行な平面（$yz$平面など）で切るのが良い。

解答

$(1)$ 点$P$が動きうる範囲は、下図のカップケーキのような範囲となる。上からはみ出た部分は、球の一部で、この球の半径は$\sqrt{3}$である。この球は立方体に外接している。はみ出た部分の体積は、$$\begin{eqnarray}\left(\frac{4}{3}\pi(\sqrt{3})^3-2^3\right)/6 & = & \frac{2\sqrt{3}\pi-8}{3}\end{eqnarray}$$であるから、体積$V$は、$$\begin{eqnarray}V & = & \frac{2\sqrt{3}\pi-8}{3}+2^3 \\ & = & \underline{\frac{2\sqrt{3}\pi+20}{3}}\end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ 点$P$がカップケーキの天井を作る球面上にあるとき、$OP = \sqrt{3}$である。点$O, N, P$が一直線上にあるときは、$(1)$と同じなので、点$O, N, P$が一直線にない場合を考える。点$N$がカップケーキの入れ物の上縁にあるときを考える。上縁のどの辺にあるときも同じなので、ある一辺の上にあるときを考える。点$N$の座標を$(t, 1, 1)\ \ (0\leq t\leq 1)$とする。下図$(a)$から、点$P$が動く範囲は斜線部の扇形で、その範囲は$\displaystyle \frac{3\pi}{4}$である。下図$(b)$のように見ると、太線部の長さは$\sqrt{3-t^2}-\sqrt{2}$であるから、$V$以外に点$P$が動く範囲の体積を$X$とすると、$$\begin{eqnarray}{X} & = & \frac{\frac{3}{4}\pi}{2\pi}\cdot \pi\int_{-1}^{1}{\left(\sqrt{3-t^2}-\sqrt{2}\right)^2dt}\\ & = & \frac{3}{4}\pi\int_{0}^{1}{\left(5-t^2-2\sqrt{2}\sqrt{3-t^2}\right)dt}\\ & = & \frac{3}{4}\pi\left[5t-\frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1}-\frac{3\sqrt{2}\pi}{2}\int_{0}^{1}{\sqrt{3-t^2}dt}\\ & = & \frac{7}{2}\pi-\frac{3\sqrt{2}\pi}{2}\int_{0}^{1}{\sqrt{3-t^2}dt}\end{eqnarray}$$である。第二項の積分で$t = \sqrt{3}\sin{\theta}$と置くと、$dt = \sqrt{3}\cos{\theta}d\theta$であるから、$$\begin{eqnarray}X & = & \frac{7}{2}\pi-\frac{3\sqrt{2}\pi}{2}\int_{0}^{\alpha}{3\cos^2{\theta}d\theta}\\ & = & \frac{7}{2}\pi-\frac{9\sqrt{2}\pi}{2}\int_{0}^{\alpha}{\left(\frac{\cos{2\theta}+1}{2}\right)d\theta}\\ & = & \frac{7}{2}\pi-\frac{9\sqrt{2}\pi}{4}\left[\frac{\sin{2\theta}}{2}+\theta\right]_{0}^{\alpha}\\ & = & \frac{7}{2}\pi-\frac{9\sqrt{2}\pi}{4}\left(\frac{\sin{2\alpha}}{2}+\alpha\right)\end{eqnarray}$$となる。ここで、$$\begin{eqnarray}\sin{2\alpha} & = & 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}\\ & = & 2\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{1-\frac{1}{3}}\\ & = & \frac{2\sqrt{2}}{3}\end{eqnarray}$$であるから、$\displaystyle X = 2\pi-\frac{9\sqrt{2}}{4}\pi\alpha$となる。以上から、求める体積は、$$\begin{eqnarray}W & = & V + 4X\\ & = & \frac{2\sqrt{3}\pi+20}{3} + 4\left(2\pi-\frac{9\sqrt{2}}{4}\pi\alpha\right)\\ & = & \underline{\frac{20}{3}+\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+8-9\sqrt{2}\right)\pi}\end{eqnarray}$$である。

解説

空間座標に一辺の長さが$2$で、中心が原点にある立方体の四角い容器があり、上部だけ開いているのを想像すると良い。中心から半径$\sqrt{3}$のケーキが膨らんでいき、$(1)$ではケーキは垂れることがなく（曲がらない）、$(2)$では$1$回だけ折れ曲がって、縁に垂れる。このように考えるとわかりやすい。積分自体は計算も大したことはないが、図形のイメージを掴むまでが大変な問題である。