[math][東京大学][空間座標]2023年度東京大学理系数学問題6

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問題

$O$ を原点とする座標空間において、不等式 $| x | \leq 1, | y | \leq 1, | z | \leq 1$ の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、 $z < 1$ を満たす部分を $S$ とする。以下、座標空間内の $2$ 点 $A, B$ が一致するとき、線分 $A B$ は点 $A$ を表すものとし、その長さを $0$ と定める。
$(1)$ 座標空間内の点 $P$ が次の条件 $(i), (i i)$ をともに満たすとき、点 $P$ が動きうる範囲 $V$ の体積を求めよ。
$(i)$ $O P \leq \sqrt{3}$
$(i i)$ 線分 $O P$ と $S$ は、共有点を持たないか、点 $P$ のみを共有点に持つ。
$(2)$ 座標空間内の点 $N$ と点 $P$ が次の条件 $(i i i), (i v), (v)$ をすべて満たすとき、点 $P$ が動きうる範囲 $W$ の体積を求めよ。必要ならば、 $\sin α = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす実数 $α (0 < α < \frac{π}{2})$ を用いてよい。
$(i i i)$ $O N + N P \leq \sqrt{3}$
$(i v)$ 線分 $O N$ と $S$ は共有点を持たない。
$(v)$ 線分 $N P$ と $S$ は、共有点を持たないか、点 $P$ のみを共有点に持つ。

方針

$(2)$ もちろん断面を考えるが、 $z$ 軸に垂直に切ると難しくなる。（後で気がつくが、）誘導からも、 $z$ 軸に平行な平面（ $y z$ 平面など）で切るのが良い。

解答

$(1)$ 点 $P$ が動きうる範囲は、下図のカップケーキのような範囲となる。上からはみ出た部分は、球の一部で、この球の半径は $\sqrt{3}$ である。この球は立方体に外接している。はみ出た部分の体積は、 $\begin{array}{rcl} (\frac{4}{3} π (\sqrt{3})^{3} - 2^{3}) / 6 & = & \frac{2 \sqrt{3} π - 8}{3} \end{array}$ であるから、体積 $V$ は、 $\begin{array}{rcl} V & = & \frac{2 \sqrt{3} π - 8}{3} + 2^{3} \\ = & \underset{―}{\frac{2 \sqrt{3} π + 20}{3}} \end{array}$ となる。

$(2)$ 点 $P$ がカップケーキの天井を作る球面上にあるとき、 $O P = \sqrt{3}$ である。点 $O, N, P$ が一直線上にあるときは、 $(1)$ と同じなので、点 $O, N, P$ が一直線にない場合を考える。点 $N$ がカップケーキの入れ物の上縁にあるときを考える。上縁のどの辺にあるときも同じなので、ある一辺の上にあるときを考える。点 $N$ の座標を $(t, 1, 1) (0 \leq t \leq 1)$ とする。下図 $(a)$ から、点 $P$ が動く範囲は斜線部の扇形で、その範囲は $\frac{3 π}{4}$ である。下図 $(b)$ のように見ると、太線部の長さは $\sqrt{3 - t^{2}} - \sqrt{2}$ であるから、 $V$ 以外に点 $P$ が動く範囲の体積を $X$ とすると、 $\begin{array}{rcl} X & = & \frac{\frac{3}{4} π}{2 π} \cdot π \int_{- 1}^{1} {(\sqrt{3 - t^{2}} - \sqrt{2})}^{2} d t \\ = & \frac{3}{4} π \int_{0}^{1} (5 - t^{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3 - t^{2}}) d t \\ = & \frac{3}{4} π {[5 t - \frac{t^{3}}{3}]}_{0}^{1} - \frac{3 \sqrt{2} π}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{3 - t^{2}} d t \\ = & \frac{7}{2} π - \frac{3 \sqrt{2} π}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{3 - t^{2}} d t \end{array}$ である。第二項の積分で $t = \sqrt{3} \sin θ$ と置くと、 $d t = \sqrt{3} \cos θ d θ$ であるから、 $\begin{array}{rcl} X & = & \frac{7}{2} π - \frac{3 \sqrt{2} π}{2} \int_{0}^{α} 3 \cos^{2} θ d θ \\ = & \frac{7}{2} π - \frac{9 \sqrt{2} π}{2} \int_{0}^{α} (\frac{\cos 2 θ + 1}{2}) d θ \\ = & \frac{7}{2} π - \frac{9 \sqrt{2} π}{4} {[\frac{\sin 2 θ}{2} + θ]}_{0}^{α} \\ = & \frac{7}{2} π - \frac{9 \sqrt{2} π}{4} (\frac{\sin 2 α}{2} + α) \end{array}$ となる。ここで、 $\begin{array}{rcl} \sin 2 α & = & 2 \sin α \cos α \\ = & 2 \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{3}} \\ = & \frac{2 \sqrt{2}}{3} \end{array}$ であるから、 $X = 2 π - \frac{9 \sqrt{2}}{4} π α$ となる。以上から、求める体積は、 $\begin{array}{rcl} W & = & V + 4 X \\ = & \frac{2 \sqrt{3} π + 20}{3} + 4 (2 π - \frac{9 \sqrt{2}}{4} π α) \\ = & \underset{―}{\frac{20}{3} + (\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 8 - 9 \sqrt{2}) π} \end{array}$ である。

解説

空間座標に一辺の長さが $2$ で、中心が原点にある立方体の四角い容器があり、上部だけ開いているのを想像すると良い。中心から半径 $\sqrt{3}$ のケーキが膨らんでいき、 $(1)$ ではケーキは垂れることがなく（曲がらない）、 $(2)$ では $1$ 回だけ折れ曲がって、縁に垂れる。このように考えるとわかりやすい。積分自体は計算も大したことはないが、図形のイメージを掴むまでが大変な問題である。