[math][東京大学][微分][最大値]2021年東京大学理系数学問題5

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問題

$\alpha$を正の実数とする。$0\leq \theta \leq \pi$における$\theta$の関数$f(\theta)$を、座標平面上の$2$点$A(-\alpha, -3), P(\theta+\sin{\theta}, \cos{\theta})$間の距離$AP$の$2$乗として定める。
$(1)$ $0<\theta<\pi$の範囲に$f^{\prime}(\theta) = 0$となる$\theta$がただ$1$つ存在することを示せ。
$(2)$ 以下が成り立つような$\alpha$の範囲を求めよ。
$\ \ \ \ \ $$0\leq \theta\leq \pi$における$\theta$の関数$f(\theta)$は、区間$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のある点において最大になる。

方針

関数の正負が把握できるまで微分を繰り返す。

解答

定義から、$$\begin{eqnarray}f(\theta) & =& AP^2\\ & = & (\theta+\sin{\theta}+\alpha)^2 + (\cos{\theta}+3)^2\\ & = & (\theta+\alpha)^2 + 2(\theta+\alpha)\sin{\theta}+\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}+6\cos{\theta}+9\\ & = & (\theta+\alpha)^2+2(\theta+\alpha)\sin{\theta} + 6\cos{\theta} + 10\ \end{eqnarray}$$となる。

$(1)$ 上記から、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(\theta) & = & 2(\theta+\alpha) + 2\sin{\theta} + 2(\theta+\alpha)\cos{\theta}-6\sin{\theta}\\ & = & 2(\theta+\alpha)-4\sin{\theta} + 2(\theta+\alpha)\cos{\theta}\\ f^{\prime\prime}(\theta) & = & 2-4\cos{\theta}+2\cos{\theta}-2(\theta+\alpha)\sin{\theta}\\ & = & 2-2\cos{\theta}-2(\theta+\alpha)\sin{\theta}\\ f^{\prime\prime\prime}(\theta) & = & 2\sin{\theta}-2\sin{\theta}-2(\theta+\alpha)\cos{\theta}\\ & = & -2(\theta+\alpha)\cos{\theta}\end{eqnarray}$$である。したがって、$f^{\prime\prime}(\theta)$の増減は以下の様になる。\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline \theta & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \cdots & \pi \\ \hline f^{\prime\prime\prime}(\theta) & -2\alpha & – & 0 & + & 2(\pi+\alpha) \\ \hline f^{\prime\prime}(\theta) & 0 & \searrow & 1-\pi-2\alpha & \nearrow & 4 \\ \hline \end{array}$1-\pi-2\alpha < 0$であるから、$\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi$に$f^{\prime\prime}(\theta) = 0$を満たす$\theta$が存在する。この$\theta$を$\theta = \beta$とする。これを基に、更に$f^{\prime}(\theta)$の増減を書くと、以下のようになる。\begin{array}{|c|*7{c|}}\hline \theta & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \cdots & \beta & \cdots & \pi \\ \hline f^{\prime\prime}(\theta) &0 & – & 1-\pi-2\alpha & – & 0 & + & 4 \\ \hline f^{\prime}(\theta) & 4\alpha & \searrow & \pi + 2\alpha-4 & \searrow & & \nearrow & 0 \\ \hline \end{array}$f(0) = 4\alpha > 0, f(\pi) = 0$であり、以上の増減表から、$0<\theta < \pi$の範囲に$f^{\prime}(\theta) = 0$となる$\theta$がただ一つ存在することがわかる。

$(2)$ $(1)$から、$f^{\prime}(\theta) = 0$となる$\theta$を$\theta = \gamma$とする。
$\ \ \ (i)$ $\pi + 2\alpha-4 > 0$のとき、$\displaystyle \frac{\pi}{2} < \gamma < \pi$となる。$f(\theta)$の増減表は以下のようになる。\begin{array}{|c|*7{c|}}\hline \theta & 0 & \cdots & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \cdots & \gamma & \cdots & \pi \\ \hline f^{\prime}(\theta) &0 & + & \pi + 2\alpha-4 & + & 0 & – & 0 \\ \hline f(x) & {\alpha}^2+16 & \nearrow & \displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)^2 + \pi + 2\alpha + 10 & \nearrow & & \searrow & (\pi+\alpha)^2 + 4 \\ \hline \end{array}このとき、上の増減表から$f(\theta)$が最大値を取るのは$\theta = \gamma $で、$\displaystyle \frac{\pi}{2} < \gamma$である。
$\ \ (ii)$ $\pi + 2\alpha-4 < 0$のとき、$\displaystyle 0 < \gamma < \frac{\pi}{2}$となる。$f(\theta)$の増減表は以下のようになる。\begin{array}{|c|*7{c|}}\hline \theta & 0 & \cdots & \gamma & \cdots & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \cdots & \pi \\ \hline f^{\prime}(\theta) &0 & + & 0 & – & \pi + 2\alpha-4 & – & 0 \\ \hline f(\theta) & {\alpha}^2 + 16 & \nearrow & & \searrow & \displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)^2 + \pi + 2\alpha + 10 & \searrow & (\pi + \alpha)^2 + 4 \\ \hline \end{array}このとき$f(\theta)$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$で最大値を取る。

以上から、求める必要十分条件は$\pi + 2\alpha-4 < 0$、つまり$\displaystyle \underline{\alpha < 2-\frac{\pi}{2}}$である。