[math][東京大学][微分][計算問題]2021年東京大学理系数学問題3

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問題

関数$$f(x)= \frac{x}{x^2+3}$$に対して、$y = f(x)$のグラフを$C$とする。点$A(1, f(1))$における$C$の接線を$$l: y = g(x)$$とする。
$(1)$ $C$と$l$の共有点で$A$と異なるものがただ$1$つ存在することを示し、その点の$x$座標を求めよ。
$(2)$ $(1)$で求めた共有点の$x$座標を$\alpha$とする。定積分$$\int_{\alpha}^{1}{\{f(x)-g(x)\}^2dx}$$を計算せよ。

方針

普通に計算すれば良い。

解答

$(1)$ $$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & \frac{x^2+3-x(2x)}{(x^2+3)^2}\\ & = & \frac{-x^2+3}{(x^2+3)^2}\end{eqnarray}$$である。点$A$における接線の傾きは、$\displaystyle f^{\prime}(1) = \frac{1}{8}$となる。したがって、$$\begin{eqnarray}l: y & = & \frac{1}{8}(x-1) + f(1)\\ & = & \frac{1}{8}(x-1) + \frac{1}{4}\\ & = & \frac{1}{8}(x+1)\end{eqnarray}$$となる。$C$と$l$の共有点は、$f(x)$と$g(x)$を連立させて、$$\begin{eqnarray}\frac{x}{x^2+3} & = & \frac{1}{8}(x+1)\\ \iff 8x & = & (x+1)(x^2+3)\\ \iff x^3+x^2+3x+3-8x & = & 0\\ x^3+x^2-5x + 3 & = & 0\\ (x-1)^2(x+3) & = & 0\end{eqnarray}$$であるから、$\underline{x = -3}$となる。これが$C$と$l$の$A$以外のただ$1$つの共有点となる。

$(2)$ $(1)$から$$\begin{eqnarray}\int_{\alpha}^{1}{\{f(x)-g(x)\}^2dx} & = & \int_{-3}^{1}{\left(\frac{x}{x^2+3}-\frac{1}{8}(x+1)\right)^2dx}\\ & = & \int_{-3}^{1}{\left(\frac{x^2}{(x^2+3)^2}-\frac{1}{4}\frac{x(x+1)}{x^2+3}+\frac{1}{64}(x+1)^2\right)dx}\\ & = & \int_{-3}^{1}{\left(\frac{x^2+3-3}{(x^2+3)^2}-\frac{1}{4}\frac{x^2+3+x-3}{x^2+3}\right)dx} + \left[\frac{1}{192}(x+1)^3\right]_{-3}^{1}\\ & = & \int_{-3}^{1}{\left(\frac{1}{x^2+3}-\frac{3}{(x^2+3)^2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\frac{x}{x^2+3}+\frac{3}{4}\frac{1}{x^2+3}\right)dx}+\frac{1}{192}(8-(-8))\\ & = & \frac{7}{4}\int_{-3}^{1}{\frac{dx}{x^2+3}}-3\int_{-3}^{1}{\frac{dx}{(x^2+3)^2}}-\frac{1}{4}\int_{-3}^{1}{\frac{x}{x^2+3}dx}-\frac{1}{4}(1-(-3))+\frac{1}{12} \\ & = & \frac{7}{4}\int_{-3}^{1}{\frac{dx}{x^2+3}}-3\int_{-3}^{1}{\frac{dx}{(x^2+3)^2}}-\frac{1}{4}\int_{-3}^{1}{\frac{x}{x^2+3}dx}-\frac{11}{12}\end{eqnarray}$$である。$$\begin{eqnarray}\int_{-3}^{1}{\frac{dx}{x^2+3}} & = & \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{1}{3(\tan^2{\theta}+1)}\cdot \frac{\sqrt{3}d\theta}{\cos^2{\theta}}}\\ & = & \frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\\ & = & \frac{\sqrt{3}\pi}{6}\end{eqnarray}$$であり、$$\begin{eqnarray}\int_{-3}^{1}{\frac{dx}{(x^2+3)^2}} & = & \int_{-3}^{1}{\frac{1}{3^2(\tan^2{\theta}+1)^2}\cdot \frac{\sqrt{3}d\theta}{\cos^2{\theta}}}\\ & = & \frac{\sqrt{3}}{9}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\cos^2{\theta}d\theta}\\ & = & \frac{\sqrt{3}}{9}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}{\frac{\cos{2\theta}+1}{2}d\theta} \\& = & \frac{\sqrt{3}}{18}\left[\frac{\sin{2\theta}}{2}+\theta\right]_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}\\ & = & \frac{\sqrt{3}}{36}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)+\frac{\sqrt{3}}{18}\left(\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)\\ & = & \frac{1}{12}+\frac{\sqrt{3}\pi}{36}\end{eqnarray}$$であり、さらに$$\begin{eqnarray}\int_{-3}^{1}{\frac{x}{x^2+3}dx} & = & \left[\frac{1}{2}\log{(x^2+3)}\right]_{-3}^{1}\\ & = & \frac{1}{2}(2\log{2}-\log{12})\\ & = & -\frac{\log{3}}{2}\end{eqnarray}$$となる。以上から、求める値は$$\begin{eqnarray} & = & \frac{7}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}\pi}{6}-3\left(\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{3}\pi}{36}\right)-\frac{1}{4}\cdot -\frac{\log{3}}{2}-\frac{11}{12}\\ & = & \underline{\frac{5\sqrt{3}\pi}{24}+\frac{\log{3}}{8}-\frac{7}{6}}\end{eqnarray}$$となる。