[math][東京大学][座標平面]2021年東京大学理系数学問題1

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問題

$a, b$を実数とする。座標平面上の放物線$$C: y = x^2+ax+b$$は放物線$y=-x^2$と$2$つの共有点を持ち、一方の共有点の$x$座標は$-1<x<0$を満たし、他方の共有点の$x$座標は$0<x<1$を満たす。
$(1)$ 点$(a, b)$のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
$(2)$ 放物線$C$の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。

方針

$(1)$ 方程式を連立させる。

$(2)$ ある程度場合分けして考える必要がある。

解答

$(1)$ $2$つの放物線の方程式を連立させると、$$\begin{eqnarray}x^2+ax+b & = & -x^2\\ \iff 2x^2+ax+b & = & 0\\ \iff x^2+\frac{a}{2}x + \frac{b}{2} & = & 0\\ \iff \left(x+\frac{a}{4}\right)^2-\frac{a^2}{16}+\frac{b}{2} & = & 0\end{eqnarray}$$である。$2$つの放物線が共有点を持つには、$\displaystyle -\frac{a^2}{16}+\frac{b}{2}<0$が必要であり、整理すると$\displaystyle b < \frac{a^2}{8}$である。$f(x) = 2x^2+ax + b$とする。$f(x) = 0$の解が$-1 < x < 0$と$0 < x < 1$にあるとき、放物線の軸$\displaystyle x = -\frac{a}{4}$について、$\displaystyle -1<-\frac{a}{4} < 1$が必要である。また、$f(-1) > 0, f(0) < 0, f(1) > 0$も要求される。これから、$$\begin{cases}\displaystyle -1<-\frac{a}{4} < 1\\ \displaystyle f(-1) = 2-a+b > 0\\ f(0) = b < 0\\ f(1) = 2+a+b >0 \end{cases}$$である。整理すると、$$\begin{cases}-4 < a < 4\\ b > a-2\\ b < 0\\ b > -a-2\end{cases}$$である。以上すべての条件を図示すると、下の図のようになる。ただし、境界は除く。

$(2)$ $(1)$から、$-4<a\geq -2, 2\leq a < 4$となることはないので、$a, b$の動きうる範囲は以下で表される。$$\begin{cases}b < 0\\ \displaystyle -2 < a < 2\\ b > a-2 \\ b > -a-2\end{cases}$$このような$a, b$に対して、$ y = x^2+ax+b$と置いたとき、$y$が動く範囲を求めれば良い。図形の対称性から、$x \geq 0$で考える。まず$0\leq a< 2$で$a$を固定する。このとき$a-2 < b < 0$であるから、$x^2+ax+a-2 < y < x^2+ax$となる。$a$も動かすと、$$\begin{cases}x^2-2\leq x^2+ax+a-2 < x^2+2x\\ x^2\leq x^2+ax < x^2+2x\end{cases}$$である。したがって、$0\leq a < 2$のときは$x^2-2\leq y < x^2+2x$となる。

$-2 < a\leq 0$のときは、$-a-2 < b < 0$であるから、$x^2+ax-a-2 < y < x^2+ax$となる。
$\ \ \ (i)$ $0\leq x\leq 1$のとき、$a$も動かすと、$$\begin{cases}x^2-2 < x^2+ax-a-2\leq x^2-2x\\ x^2-2x < x^2+ax\leq x^2\end{cases}$$である。したがって、$-2<a\leq 0$かつ$0\leq x\leq 1$のときは$x^2-2 < y < x^2$となる。
$\ \ \ (ii)$ $1\leq x$のとき、$a$も動かすと、$$\begin{cases}x^2-2x < x^2+ax-a-2\leq x^2-2\\ x^2-2x < x^2+ax\leq x^2\end{cases}$$である。したがって、$-2<a\leq 0$かつ$ x\geq 1$のときは$x^2-2x < y < x^2$となる。

以上から、$$\begin{cases}x^2-2<y<x^2+2x\ (0\leq x\leq 1)\\ x^2-2x<y<x^2+2x\ (x\geq 1)\end{cases}$$である。$x\leq 0$のときは対称性も考慮して、$C$の動く範囲は下図のようになる。ただし、境界は除く。