[math][京都大学]2024年京都大学理学部特色入試第2問

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問題

$x^{100} - 3 x^{10} - 2 x - 1 = 0$ を満たす実数 $x$ の個数を求めよ。

方針

$- 1 < x < 1$ のときは $x^{100}$ はとても小さいので、無視できる。

解答

$f (x) = x^{100} - 3 x^{10} - 2 x - 1$ とする。

$(i)$ $| x | \geq 1$ のとき、 $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & 100 x^{99} - 30 x^{9} - 2 \\ = & x^{9} (100 x^{90} - 30) - 2 \end{array}$ である。ここで、 $\begin{array}{rcl} 100 x^{90} - 30 & \geq & 100 \cdot 1 - 30 \\ = & 70 \end{array}$ であるから、 $x \geq 1$ のときは $f^{'} (x) \geq 70 - 2 > 0$ となる。 $f (1) = - 5, f (\infty) = \infty$ だから、 $f (x) = 0$ は $x > 1$ で一つの実数解を有する。また、 $x \leq - 1$ のときは $f^{'} (x) \leq - 70 - 2 < 0$ となる。 $f (- 1) = - 1, f (- \infty) = \infty$ だから、 $f (x) = 0$ は $x < - 1$ で一つの実数解を有する。

$(i i)$ $| x | < 1$ のとき、 $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & 100 x^{99} - 30 x^{9} - 2 \\ f^{''} (x) & = & 100 \cdot 99 x^{98} - 270 x^{8} \\ = & 90 x^{8} (110 x^{90} - 3) \end{array}$ である。したがって、 $α = \sqrt[90]{\frac{3}{110}}$ と置くと、 $f^{'} (x)$ の増減は以下の表のようになる。 $\begin{array}{cc} x & - 1 & \dots & - α & \dots & α & \dots & 1 \\ f^{''} (x) & + & 0 & - & 0 & + \\ f^{'} (x) & - 72 & ↗ & f^{'} (- α) & ↘ & f^{'} (α) & ↗ & 68 \end{array}$ さて、 $\begin{array}{rcl} f^{'} (- α) & = & - 10 α^{9} (10 α^{90} - 3) - 2 \\ = & \frac{300}{11} α^{9} - 2 \\ = & \frac{300}{11} \sqrt[10]{\frac{3}{110}} - 2 \\ f^{'} (α) & = & 10 α^{9} (10 α^{90} - 3) - 2 \\ = & - \frac{300}{11} α^{9} - 2 < 0 \end{array}$ である。ここで、 $\begin{array}{rcl} \frac{3}{110} & > & \frac{1}{10^{10}} \\ ⟺ \sqrt[10]{\frac{3}{110}} & > & \frac{1}{10} \end{array}$ であるから、 $\begin{array}{rcl} f^{'} (- α) & > & \frac{300}{11} \cdot \frac{1}{10} - 2 \\ > & 0 \end{array}$ である。

したがって、 $f (0) = - 1$ と、上の増減表も参考にすると、 $- 1 < x < - α$ と $- α < x < 0$ に一つずつ $f^{'} (x) = 0$ となる $x$ が一つ存在する。これを小さい順に $x = β, γ$ とすると、 $f (x)$ の増減表は以下の様になる。 $\begin{array}{cc} x & - 1 & \dots & β & \dots & - α & \dots & γ & \dots & 0 & \dots & α & \dots & 1 \\ f^{'} (x) & - 72 & - & 0 & + & f^{'} (- α) & + & 0 & - & - 2 & - & f^{'} (α) & - & 68 \\ f (x) & - 1 & ↘ & ↗ & ↗ & ↘ & - 1 & ↘ & ↘ & - 5 \end{array}$

上の増減表をよく見ると、 $f (γ) > 0$ ならば $f (x) = 0$ の解は $- 1 < x < 1$ の範囲で $2$ つ、 $f (γ) < 0$ ならば $- 1 < x < 1$ の範囲で $0$ 個であることがわかる。 $- 1 < x < 0$ の範囲で、 $f (x) > 0$ となる $x$ が存在することを示す。 $a = - \sqrt[9]{\frac{1}{15}}$ と置くと、 $a^{9} = - \frac{1}{15}$ で、 $\begin{array}{rcl} f (a) & = & a^{100} - 3 a \cdot a^{9} - 2 a - 1 \\ = & a^{100} - \frac{11}{5} a - 1 \\ = & a^{100} + \frac{11}{5} \sqrt[9]{\frac{1}{15}} - 1 \\ > & \frac{11}{5} \sqrt[9]{\frac{1}{15}} - 1 \end{array}$ となる。 $\begin{array}{rcl} \frac{1}{15} & > & \frac{1}{2^{9}} \\ ⟺ \sqrt[9]{\frac{1}{15}} & > & \frac{1}{2} \end{array}$ であるから、 $\begin{array}{rcl} \frac{11}{5} \sqrt[9]{\frac{1}{15}} - 1 & > & \frac{11}{5} \cdot \frac{1}{2} - 1 > 0 \end{array}$ となる。つまり、 $f (a) > 0$ である。

以上の議論から、 $f (x) = 0$ を満たす実数は、 $x < - 1$ に一つ、 $- 1 < x < 0$ に二つ、 $x > 1$ に一つで、合計 $4$ 個となる。

解説

$| x | > 1$ のときと比べると、 $| x | < 1$ のときは難しい。ただし、方針で述べたように、この範囲では $x^{100}$ はほとんど無視できることに気がつけば、攻略可能である。 $| x | < 1$ のとき、 $x^{100}$ はほとんど $0$ なので、 $f (x) = x^{100} - 3 x^{10} - 2 x - 1$ は $- 3 x^{10} - 2 x - 1$ と近似できる。この関数を $g (x)$ とすると、 $g^{'} (x) = - 30 x^{9} - 2 = - 30 (x^{9} - \frac{1}{15})$ となる。この $g^{'} (x) = 0$ を満たす $x$ （のひとつ）こそが、上の $a = - \sqrt[9]{\frac{1}{15}}$ である。ただし、増減をしっかりと考えなくてはいけないので、最初から $g (x)$ を持ち出してもあまりうまくいかない。