問題
を満たす実数の個数を求めよ。
方針
のときははとても小さいので、無視できる。
解答
とする。
のとき、である。ここで、であるから、のときはとなる。だから、はで一つの実数解を有する。また、のときはとなる。だから、はで一つの実数解を有する。
のとき、である。したがって、と置くと、の増減は以下の表のようになる。さて、である。ここで、であるから、である。
したがって、と、上の増減表も参考にすると、とに一つずつとなるが一つ存在する。これを小さい順にとすると、の増減表は以下の様になる。
上の増減表をよく見ると、ならばの解はの範囲でつ、ならばの範囲で個であることがわかる。の範囲で、となるが存在することを示す。と置くと、で、となる。であるから、となる。つまり、である。
以上の議論から、を満たす実数は、に一つ、に二つ、に一つで、合計個となる。
解説
のときと比べると、のときは難しい。ただし、方針で述べたように、この範囲でははほとんど無視できることに気がつけば、攻略可能である。のとき、はほとんどなので、はと近似できる。この関数をとすると、となる。このを満たす(のひとつ)こそが、上のである。ただし、増減をしっかりと考えなくてはいけないので、最初からを持ち出してもあまりうまくいかない。
ちなみに、のグラフは以下のようになる。
の概形。
関連問題
1984年東京大学理系数学問題3 級数と数列、多項式と微分、必要条件と十分条件
1999年東京大学前期理系数学問題6 関数の凸性、数値評価
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