[math][京都大学]2024年京都大学理学部特色入試第2問

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問題

$x^{100}-3x^{10}-2x-1 = 0$を満たす実数$x$の個数を求めよ。

方針

$-1<x<1$のときは$x^{100}$はとても小さいので、無視できる。

解答

$f(x) = x^{100}-3x^{10}-2x-1$とする。

$(i)$ $|x| \geq 1$のとき、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & 100x^{99}-30x^{9}-2 \\ & = & x^9(100x^{90}-30)-2 \end{eqnarray}$$である。ここで、$$\begin{eqnarray}100x^{90}-30 & \geq & 100\cdot 1-30 \\ & = & 70\end{eqnarray}$$であるから、$x \geq 1$のときは$f^{\prime}(x) \geq 70-2 > 0$となる。$f(1) = -5, f(\infty) = \infty$だから、$f(x) = 0$は$x >1$で一つの実数解を有する。また、$x \leq -1$のときは$f^{\prime}(x) \leq -70-2 < 0$となる。$f(-1) = -1, f(-\infty) = \infty$だから、$f(x) = 0$は$x <-1$で一つの実数解を有する。

$(ii)$ $|x| < 1$のとき、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(x) & = & 100x^{99}-30x^9-2 \\ f^{\prime\prime}(x) & = & 100\cdot 99 x^{98}-270x^{8} \\ & = & 90x^{8}(110x^{90}-3)\end{eqnarray}$$である。したがって、$\displaystyle \alpha = \sqrt[90]{\frac{3}{110}}$と置くと、$f^{\prime}(x)$の増減は以下の表のようになる。\begin{array}{|c|*7{c|}}\hline x & -1 & \cdots & -\alpha & \cdots & \alpha & \cdots & 1 \\ \hline f^{\prime\prime}(x) & & + & 0 & – & 0 & + & \\ \hline f^{\prime}(x) & -72 & \nearrow & f^{\prime}(-\alpha) &\searrow & f^{\prime}(\alpha) & \nearrow & 68 \\ \hline \end{array}さて、$$\begin{eqnarray} f^{\prime}(-\alpha) & = & -10{\alpha}^9(10{\alpha}^{90}-3)-2 \\ & = & \frac{300}{11}{\alpha}^9-2 \\ & = & \frac{300}{11}\sqrt[10]{\frac{3}{110}}-2 \\f^{\prime}(\alpha) & = & 10{\alpha}^9(10{\alpha}^{90}-3)-2 \\ & = & -\frac{300}{11}{\alpha}^9-2 < 0\end{eqnarray}$$である。ここで、$$\begin{eqnarray}\frac{3}{110} & > & \frac{1}{10^{10}} \\ \iff \sqrt[10]{\frac{3}{110}} & > & \frac{1}{10}\end{eqnarray}$$であるから、$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(-\alpha) & > & \frac{300}{11}\cdot \frac{1}{10}-2 \\ & > & 0\end{eqnarray}$$である。

したがって、$f(0) = -1$と、上の増減表も参考にすると、$-1 < x < -\alpha$と$-\alpha < x < 0$に一つずつ$f^{\prime}(x) = 0$となる$x$が一つ存在する。これを小さい順に$x = \beta, \gamma$とすると、$f(x)$の増減表は以下の様になる。\begin{array}{|c|*11{c|}}\hline x & -1 & \cdots & \beta & \cdots & -\alpha & \cdots & \gamma & \cdots & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & 1 \\ \hline f^{\prime}(x) &-72 & – & 0 & + & f^{\prime}(-\alpha) & + & 0 & – & -2 & – & f^{\prime}(\alpha) & – & 68 \\ \hline f(x) & -1 & \searrow & & \nearrow & & \nearrow & & \searrow & -1 & \searrow & & \searrow & -5 \\ \hline \end{array}

上の増減表をよく見ると、$f(\gamma) > 0$ならば$f(x) = 0$の解は$-1<x<1$の範囲で$2$つ、$f(\gamma) < 0$ならば$-1<x<1$の範囲で$0$個であることがわかる。$-1<x<0$の範囲で、$f(x) > 0$となる$x$が存在することを示す。$\displaystyle a = -\sqrt[9]{\frac{1}{15}}$と置くと、$\displaystyle a^9 = -\frac{1}{15}$で、$$\begin{eqnarray}f(a) & = & a^{100}-3a\cdot a^9-2a-1 \\ & = & a^{100}-\frac{11}{5}a-1 \\ & = & a^{100} + \frac{11}{5}\sqrt[9]{\frac{1}{15}}-1 \\ & > & \frac{11}{5}\sqrt[9]{\frac{1}{15}}-1 \end{eqnarray}$$となる。$$\begin{eqnarray}\frac{1}{15} & > & \frac{1}{2^9} \\ \iff \sqrt[9]{\frac{1}{15}} & > & \frac{1}{2} \end{eqnarray}$$であるから、$$\begin{eqnarray} \frac{11}{5}\sqrt[9]{\frac{1}{15}}- 1 & > & \frac{11}{5}\cdot \frac{1}{2}- 1 > 0\end{eqnarray}$$となる。つまり、$f(a) > 0$である。

以上の議論から、$f(x) = 0$を満たす実数は、$x<-1$に一つ、$-1<x<0$に二つ、$x > 1$に一つで、合計$4$個となる。

解説

$|x| > 1$のときと比べると、$|x| < 1$のときは難しい。ただし、方針で述べたように、この範囲では$x^{100}$はほとんど無視できることに気がつけば、攻略可能である。$|x| < 1$のとき、$x^{100}$はほとんど$0$なので、$f(x) = x^{100}-3x^{10}-2x-1$は$-3x^{10}-2x-1$と近似できる。この関数を$g(x)$とすると、$\displaystyle g^{\prime}(x) = -30x^9-2 = -30\left(x^9-\frac{1}{15}\right)$となる。この$g^{\prime}(x) = 0$を満たす$x$（のひとつ）こそが、上の$\displaystyle a = -\sqrt[9]{\frac{1}{15}}$である。ただし、増減をしっかりと考えなくてはいけないので、最初から$g(x)$を持ち出してもあまりうまくいかない。

ちなみに、$y = f(x)$のグラフは以下のようになる。