[math][京都大学]2024年京都大学理学部特色入試第2問

diagonal composition of dividing lines on a running track math
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問題

x1003x102x1=0を満たす実数xの個数を求めよ。

方針

1<x<1のときはx100はとても小さいので、無視できる。

解答

f(x)=x1003x102x1とする。

(i) |x|1のとき、f(x)=100x9930x92=x9(100x9030)2である。ここで、100x9030100130=70であるから、x1のときはf(x)702>0となる。f(1)=5,f()=だから、f(x)=0x>1で一つの実数解を有する。また、x1のときはf(x)702<0となる。f(1)=1,f()=だから、f(x)=0x<1で一つの実数解を有する。

(ii) |x|<1のとき、f(x)=100x9930x92f(x)=10099x98270x8=90x8(110x903)である。したがって、α=311090と置くと、f(x)の増減は以下の表のようになる。x1αα1f(x)+00+f(x)72f(α)f(α)68さて、f(α)=10α9(10α903)2=30011α92=300113110102f(α)=10α9(10α903)2=30011α92<0である。ここで、3110>11010311010>110であるから、f(α)>300111102>0である。

したがって、f(0)=1と、上の増減表も参考にすると、1<x<αα<x<0に一つずつf(x)=0となるxが一つ存在する。これを小さい順にx=β,γとすると、f(x)の増減表は以下の様になる。x1βαγ0α1f(x)720+f(α)+02f(α)68f(x)115

上の増減表をよく見ると、f(γ)>0ならばf(x)=0の解は1<x<1の範囲で2つ、f(γ)<0ならば1<x<1の範囲で0個であることがわかる。1<x<0の範囲で、f(x)>0となるxが存在することを示す。a=1159と置くと、a9=115で、f(a)=a1003aa92a1=a100115a1=a100+11511591>11511591となる。115>1291159>12であるから、11511591>115121>0となる。つまり、f(a)>0である。

以上の議論から、f(x)=0を満たす実数は、x<1に一つ、1<x<0に二つ、x>1に一つで、合計4個となる。

解説

|x|>1のときと比べると、|x|<1のときは難しい。ただし、方針で述べたように、この範囲ではx100はほとんど無視できることに気がつけば、攻略可能である。|x|<1のとき、x100はほとんど0なので、f(x)=x1003x102x13x102x1と近似できる。この関数をg(x)とすると、g(x)=30x92=30(x9115)となる。このg(x)=0を満たすx(のひとつ)こそが、上のa=1159である。ただし、増減をしっかりと考えなくてはいけないので、最初からg(x)を持ち出してもあまりうまくいかない。

ちなみに、y=f(x)のグラフは以下のようになる。

y=f(x)の概形。

関連問題

1984年東京大学理系数学問題3 級数と数列、多項式と微分、必要条件と十分条件
1999年東京大学前期理系数学問題6 関数の凸性、数値評価

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