[math][京都大学]2024年京都大学理学部特色入試第1問

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問題

$2$以上の自然数$n$に対して、$n$を割り切る素数の個数を$f(n)$とする。例えば$n = 120$のとき、$120$を割り切る素数は$2$と$3$と$5$なので、$f(120) = 3$である。不等式$\displaystyle f(n) \geq \frac{\sqrt{n}}{2}$を満たす$2$以上の自然数$n$をすべて求めよ。

方針

不等式で抑え込むのが鉄則である。

解答

$n = {p_1}^{q_1}{p_2}^{q_2}\cdots {p_k}^{q_k}$とする。ただし、$p_i$は素数で、$q_i$はそれぞれ$1$以上の自然数とする（$1\leq i\leq k$）。すると、$f(n) = k$である。さて、$i\geq 3$のときは$p_i \geq 5$だから、$$\begin{eqnarray}\frac{n}{4} & = & {p_1}^{q_1}{p_2}^{q_2}{p_3}^{q_3}\cdots {p_k}^{q_k}{2^{-2}} \\ & \geq & 2^{q_1}3^{q_2}5^{q_3}\cdots 5^{q_k}2^{-2} \\ & = & 2^{q_1-2}3^{q_2}5^{q_3+ q_4 + \cdots +q_k} \\ & \geq & 2^{1-2}3^{1}5^{1 + 1+\cdots 1} \\ & = & 2^{-1}\cdot 3\cdot 5^{k-2} \end{eqnarray}$$である。したがって、所与の不等式を満たすには、$2k^2 \geq 3\cdot 5^{k-2}$が必要であるが、これを満たすのは$k<4$である（数学的帰納法ですぐに示せる）。したがって、$k = 1, 2, 3$しかありえない。

$\ \ \ (i)$ $k = 1$のとき、$\displaystyle 1\geq \frac{\sqrt{{p_1}^{q_1}}}{2}$を変形して、${p_1}^{q_1}\leq 4$である。これを満たす$(p_1, q_1)$の組は、$(p_1, q_1) = (2, 1), (2, 2), (3, 1)$である。このとき順に、$n = 2, 4, 3$である。

$\ \ (ii)$ $k = 2$のとき、$\displaystyle 2\geq \frac{\sqrt{{p_1}^{q_1}{p_2}^{q_2}}}{2}$を変形して、${p_1}^{q_1}{p_2}^{q_2}\leq 16$である。これを満たす$(p_1, q_1, p_2, q_2)$の組は、$(p_1, q_1, p_2, q_2) = (2, 1, 3, 1), (2, 1, 5, 1), (2, 1, 7, 1), (2, 2, 3, 1), (3, 1, 5, 1)$である。このとき順に、$n = 6, 10, 14, 12, 15$である。

$\ \ (iii)$ $k = 3$のとき、$\displaystyle 3\geq \frac{\sqrt{{p_1}^{q_1}{p_2}^{q_2}{p_3}^{q_3}}}{2}$を変形して、${p_1}^{q_1}{p_2}^{q_2}\leq 36$である。これを満たす$(p_1, q_1, p_2, q_2, p_3, q_3)$の組は、$(p_1, q_1, p_2, q_2) = (2, 1, 3, 1, 5, 1)$である。このとき、$n = 30$である。

以上から、条件を満たすのは$\underline{n = 2, 3, 4, 6, 10, 12, 14, 15, 30}$である。

解説

数学的帰納法で$k > 3$のとき$2k^2 < 3\cdot 5^{k-2}$であることを示そう。$k = 4$のとき、$2k^2 = 32, 3\cdot 5^{k-2} = 75$で成り立つ。ある$l (\geq 4)$で$2l^2 < 3\cdot 5^{l-2}$が成り立つとすると、$$\begin{eqnarray}3\cdot 5^{l-1} & > & 5\cdot (2l^2) \\ & = & 10l^2\end{eqnarray}$$である。$l \geq 4$で$10l^2 > 2(l+1)^2$を示すことができればよい。$$\begin{eqnarray}10l^2-2(l+1)^2 & = & 8l^2-4l-2 \\ & = & 4l(2l-1)-2 \\ & > & 4\cdot 4(2\cdot 4-1)-2 \\ & = & 110 > 0\end{eqnarray}$$と示される。