[math][京都大学]2024年京都大学理学部特色入試第4問

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問題

$t$を実数とする。投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$であるコインを$10$回投げて、座標空間の点$P_0, P_1, P_2, \cdots, P_{10}$を以下で定める。

・$P_0$の座標は$(1, 2, 3)$とする。
・$n$を$1\leq n\leq 10$を満たす任意の自然数とする。$P_{n-1}$の座標が$(x, y, z)$であるとき、もし$n$回目のコイン投げで表が出たなら$P_n$の座標は$((1-t)x+ty, x, z)$とし、裏が出たなら$P_n$の座標は$(x, (1-t)y + tz, y)$とする。

例えば$t = -1$のとき、$1$回目のコイン投げで表、$2$回目のコイン投げで裏が出たなら、$P_0, P_1, P_2$の座標はそれぞれ$(1, 2, 3), (0, 1, 3), (0, -1, 1)$となる。また$t = -1$のとき、$P_1$が取りうる座標空間の点は$(0, 1, 3)$と$(1, 1, 2)$の$2$個である。以下の設問に答えよ。
$(1)$ $t = -1$のとき、$P_3$の座標が$(1, 0, 1)$となる確率を求めよ。
$(2)$ $P_{10}$が取りうる座標空間の点の個数を$N(t)$とする。$N(t)\geq 250$となる実数$t$が存在するかどうかを判定せよ。

方針

$(1)$は$(2)$の大きなヒントになっている。

解答

$(1)$ $t = -1$のとき、$((1-t)x+ty, x, z) = (2x-y, x, z)$であり、また$(x, (1-t)y+tz, y) = (x, 2y-z, y)$である。したがって、$$\begin{eqnarray}P_0: (1, 2, 3) & \rightarrow & P_1: \begin{cases}(0, 1, 3) \\ (1, 1, 2)\end{cases} \\ & \rightarrow & P_2: \begin{cases}(-1, 0, 3) \\ (0, -1, 1)\\ (1, 1, 2) \\ (1, 0, 1)\end{cases} \\ & \rightarrow & P_3: \begin{cases}(-2, -1, 3)\\ (-1, -3, 0)\\ (1, 0, 1)\\ (0, -3, -1)\\ (1, 1, 2)\\ (1, 0, 1)\\ (2, 1, 1) \\ (1, -1, 0)\end{cases}\end{eqnarray}$$となる。したがって、$P_3$の座標が$(1, 0, 1)$となる確率は$\displaystyle \frac{2}{8} = \underline{\frac{1}{4}}$である。

$(2)$ 表、裏、表と出たときは、$$\begin{eqnarray}(x, y, z) & \rightarrow & ((1-t)x+ty, z, z) \\ \rightarrow & & ((1-t)x+ty, (1-t)x+tz, x) \\ \rightarrow & & ((1-t)^2x+t(1-t)y+t(1-t)x+t^2z, (1-t)x+ty, x)\\ & = & ((1-t)x + t(1-t)y+t^2z, (1-t)x+ty, x)\end{eqnarray}$$であり、裏、表、裏と出たときは$$\begin{eqnarray} (x, y, z) & \rightarrow & (x, (1-t)y+tz, y)\\ \rightarrow & & ((1-t)x+t(1-t)y + t^2z, x, y)\\ \rightarrow & & ((1-t)x+t(1-t)y+t^2z, (1-t)x+ty, x)\end{eqnarray}$$と同じ行き先に辿り着くから、表裏表と裏表裏は同一視できる。$P_i (1\leq i\leq 10)$が取りうる座標空間の個数を$q_i$とする。$(1)$から、$q_1 = 2, q_2 = 4, q_3 = 7$がわかる。ここで、$q_4$は$2\times q_3$としたいが、$P_4$のうち、表表裏表と表裏表表、および裏表裏表と裏裏表裏は同一視しないといけない。すなわち$2 = q_1$通りは重複するので、異なる行き先の個数は$2\times q_3 -q_1 = 12$通りである。同様に、一般に$q_{n+3}$は、$2\times q_{n+2}$から行き先が同じ$q_n$を除いたものになるから、$q_{n+3} = 2q_{n+2}-q_n$となる。順に計算すると、$$\begin{eqnarray}q_5 & = & 2\times 12-4 \\ & = & 20\\ q_6 & = & 2\times 20-7 \\ & = & 33 \\ q_7 & = & 2\times 33 -12 \\ & = & 54 \\ q_8 & = & 2\times 54 – 20 \\ & = & 88 \\ q_9 & = & 2\times 88-33 \\ & = & 143\\ q_{10} & = & 2\times 143-54 \\ & = & 232\end{eqnarray}$$となる。したがって、$N(t) = 232$であるから、$N(t)\geq 250$となることはない。

解説

$(1)$でわかることは、適当に$t$を定めると、表裏表と裏表裏以外の行き先は、異なる座標にできるということである。しかし、どんな$t$であっても表裏表と裏表裏の行き先は同一になる。ある点$(x, y, z)$から移動する先は、表か裏かで$2$通りある。$P_{n+3}$のうち、重複するのは$P_{n}$から出発し、表裏表と出たものと、裏表裏と出たものであるから、これを除いて考えることで解答の漸化式を得る。

解答の漸化式は特性方程式$t^3 = 2t^2-1$の解$\displaystyle 1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{1-\sqrt{5}}{2}$を用いて$\displaystyle q_n = \alpha + \beta \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + \gamma \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$と書くことができる。$q_0 = 1, q_1 = 2, q_2 = 4$から$\displaystyle \alpha = -1, \beta = 1+\frac{2}{\sqrt{5}}, \gamma = 1-\frac{2}{\sqrt{5}}$となる。簡単のために$\displaystyle \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$と置くと、$\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2} = 1-\phi = (-\phi)^{-1}$である。

さて、$F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$によって定まる数列をフィボナッチ数列というが、この数列の一般項は$\displaystyle F_{n} =\frac{1}{\sqrt{5}}({\phi}^n – (-\phi)^{-n})$で表される。

これを用いて$q_n$を変形すると、$$\begin{eqnarray}q_n & = & -1+\left(\frac{(1+\sqrt{5})+1}{\sqrt{5}}\right)(\phi)^n + \left(\frac{-(1-\sqrt{5})-1}{\sqrt{5}}\right)(-\phi)^{-n} \\ & = & -1 + \frac{2\phi + 1}{\sqrt{5}}{\phi}^n+\frac{-2(\phi)^{-1}-1}{\sqrt{5}}(-\phi)^{-n} \\ & = & -1+\frac{2}{\sqrt{5}}({\phi}^{n+1}-(-\phi)^{-(n+1)}) + \frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{n}-(-\phi)^{-n}) \\ & = & -1 + 2F_{n+1} + F_n \\ & = & -1 + F_{n+1} + (F_{n+1} + F_n)\\ & = & -1 + F_{n + 1} + F_{n + 2}\\ & = & -1 + F_{n+3}\end{eqnarray}$$である。