[math][東京医科歯科大学]2024年東京医科歯科大学数学問題1

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問題

$n$を$2$以上の自然数とする。自然数の組$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$を解とする方程式$$(\text{＊})\ a_1+a_2+\cdots + a_n = a_1\times a_2\times \cdots a_n$$を考えるとき、以下の各問いに答えよ。
$(1)$ $n = 3$のとき、$(\text{＊})$の解$(a_1, a_2, a_3)$のうち、$a_1\leq a_2\leq a_3$を満たすものをすべて求めよ。
$(2)$ $n\geq 3$のとき、$(\text{＊})$の任意の解$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$において、$a_i = 1$となる$i$が少なくとも$1$つ存在することを示せ。
$(3)$ $(\text{＊})$のある解$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$において、$a_i = 1$となる$i$がちょうど$2$個存在しているとする。このとき、$n$の取り得る値をすべて求めよ。

方針

$a_1+a_2+\cdots + a_n$に比べて$a_1a_2\cdots a_n$の方がはるかに大きくなるので、$a_1$は大きくなれない筈である。

解答

$(1)$ $n = 3$のとき、$$a_1+a_2+a_3 = a_1a_2a_3$$である。変形して、$\displaystyle \frac{1}{a_2a_3} + \frac{1}{a_3a_1} + \frac{1}{a_1a_2} = 1$である。したがって、$\displaystyle 1 \leq \frac{3}{{a_1}^2}$である。これから${a_1}^2 \leq 3$であるから、$a_1 = 1$がわかる。代入すると$1+a_2+a_3 = a_2a_3$である。変形して、$(a_2-1)(a_3-1) = 2$である。これを満たす$a_2\leq a_3$の組は、$(a_2, a_3) = (2, 3)$である。以上から、求める答えは$(a_1, a_2, a_3) = (1, 2, 3)$となる。

$(2)$ 一般性を失うことなく、$a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_n$と仮定する。$(\text{＊})$を変形して、$\displaystyle \frac{1}{a_2a_3\cdots a_n} + \frac{1}{a_3a_4\cdots a_1} + \cdots + \frac{1}{a_1a_2\cdots a_{n-1}} = 1$である。これから、$\displaystyle 1\leq \frac{n}{{a_1}^{n-1}}$であり、変形して${a_1}^{n-1}\leq n$である。$a_1 \geq 2$とすると、$2^{n-1}\leq n$を満たす必要があるが、$n\geq 3$のときにこの不等式は成り立たない。なぜならば、$2^{n-1} > n$は$n = 3$のときに正しく、$n = k\ (\geq 3)$で$2^{k-1} >k$を仮定すると、$$\begin{eqnarray}2^{k} & = & 2\cdot 2^{k-1}\\ & >& 2k \\ & > & k+1 \end{eqnarray}$$であるからである。したがって、$a_1 = 1$であり、題意が成り立つ。

$(3)$ $a_1=a_2 = 1, a_3\leq a_4\leq \cdots \leq a_n$として一般性を失わない。$(\text{＊})$から$2+a_3+a_4+\cdots + a_n = a_3a_4\cdots a_n$である。変形して、$\displaystyle \frac{2}{a_3a_4\cdots a_n} + \frac{1}{a_4a_5\cdots a_n} + \cdots + \frac{1}{a_3a_4\cdots a_{n-1}} = 1$である。これから、$\displaystyle 1 \leq \frac{n}{{a_3}^{n-3}}$であり、変形して${a_3}^{n-3} \leq n$である。$a_3 \geq 2$であるから、$2^{n-3}\leq n$が必要である。これを満たす$n (n\geq 2)$は、$n = 2, 3, 4, 5$のみである（証明は$(2)$と同様に、$n\geq 6$で$2^{n-3} > n$であることを数学的帰納法で示す）。$n = 2$のときは、$a_1+a_2 = a_1a_2, a_1 = a_2 = 1$は成立しない。$n = 3$のとき$(1)$より$a_1=a_2 = 1$は成り立たない。$n = 4$のとき、$2+a_3+a_4 = a_3a_4$であり、変形して、$(a_3-1)(a_4-1) = 3$である。これから$(a_3, a_4) = (2, 4)$となる。したがって、$(a_1, a_2, a_3, a_4) = (1, 1, 2, 4)$となる。$n = 5$のとき、$2+a_3+a_4+a_5 = a_3a_4a_5$であり、$(a_3, a_4, a_4) = (2, 2, 2)$とするとこれは成り立つ。以上から、条件を満たす$n$は$\underline{n = 4, 5}$である。