[math][東京大学]2024年東京大学理系数学問題第1問

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2024.07.062024.03.12

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問題

座標空間内の点$A\ (0, -1, 1)$をとる。$xy$平面上の点$P$が次の条件(i), (ii), (iii)をすべて満たすとする。
$\ \ \ (i)$ $P$は原点$O$と異なる。
$\ \ \ (ii)$ $\displaystyle \angle{AOP} \geq \frac{2}{3}\pi$
$\ \ \ (iii)$ $\displaystyle \angle{OAP} \leq \frac{\pi}{6}$
$P$がとりうる範囲を$xy$平面上に図示せよ。

方針

数式で攻めて見る。

解答

$\angle{AOP} = \theta, \angle{OAP} = \phi$とする。$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OP}|\cos{\theta}$であるから、$$\begin{eqnarray}\cos{\theta} & = & \frac{(0, -1, 1)\cdot (x, y, 0)}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}} \\ & = & \frac{-y}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\end{eqnarray}$$である。同様に、$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AP} = |\overrightarrow{AO}||\overrightarrow{AP}|\cos{\phi}$であるから$$\begin{eqnarray}\cos{\phi} & = & \frac{(0, 1, -1)\cdot (x, y+1, -1)}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+(y+1)^2+1}} \\ & = & \frac{y+2}{\sqrt{2(x^2+(y+1)^2+1)}} \\ \iff y\geq 0,\ y\geq |x|\end{eqnarray}$$である。(ii)の条件は、$\displaystyle \cos{\theta}\leq -\frac{1}{2}$と同値である。整理すると、$$\begin{eqnarray}\frac{-y}{\sqrt{2(x^2+y^2)}} & \leq & -\frac{1}{2} \\ \iff \sqrt{2}y\geq \sqrt{x^2+y^2} \\ \iff y\geq0 , \ 2y^2\geq x^2+y^2 \\ \iff y\geq 0,\ y^2\geq x^2 \end{eqnarray}$$である、(iii)の条件は、$\displaystyle \cos{\phi}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$と同値である。整理すると、$$\begin{eqnarray}\frac{y+2}{\sqrt{2(x^2+(y+1)^2+1)}} & \geq & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \iff \sqrt{2}(y+2) & \geq & \sqrt{3(x^2+(y+1)^2+1)} \\ \iff y+2\geq 0, \ 2(y+2)^2 & \geq & 3(x^2+y^2) \\ \iff y\geq -2,\ 3x^2+(y-1)^2\leq 3\end{eqnarray}$$である。これを図示すると下の図のようになる。ただし、境界を含む。