[math][東京工業大学]2024年東京工業大学数学問題1

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問題

$xy$平面上の曲線$\displaystyle y = \frac{1}{2}x^2$に、点$\displaystyle \left(a, \frac{1}{2}a^2\right)\ (a > 0)$で接する円のうち、$y$軸の正の部分にも接するものを$S_a$とおく。$a$が正の実数を動くときの$S_a$の中心の軌跡を$C$、とくに$S_1$の中心を$P$とする。
$(1)$ 点$P$の座標を求めよ。
$(2)$ 点$P$における曲線$C$の接線の傾きを求めよ。

方針

どのような解き方で進めても良い。

解答

$(1)$ $S_a$の中心の座標を$(b, c)$、半径を$d$とする。$S_a$は$y$軸に接するので、$d = b$である。したがって、$S_a$の方程式は$(x-b)^2+(y-c)^2 = b^2$である。点$\displaystyle \left(a, \frac{1}{2}a^2\right)$における$\displaystyle y = \frac{1}{2}x^2$の接線は$\displaystyle y-\frac{1}{2}a^2 = a(x-a)$である。整理して、$$y = ax-\frac{1}{2}a^2 \tag{1}\label{1}$$である。同じ点における円の接線は$$(a-b)(x-b) + \left(\frac{1}{2}a^2-c\right)(y-c) = b^2$$である。整理して、$$\left(\frac{1}{2}a^2-c\right)y = -(a-b)x + ab + \frac{1}{2}a^2c-c^2$$である。\eqref{1}の接線の傾きは$a \ ( > 0)$で、$\infty$になることはない。したがって、$\displaystyle \frac{1}{2}a^2-c\ne 0$で、変形すると$$y = \frac{-(a-b)x + ab}{\frac{1}{2}a^2-c} + c \tag{2}\label{2}$$である。\eqref{1}, \eqref{2}は同一なので、$$\begin{cases}a & = & \displaystyle \frac{-(a-b)}{\frac{1}{2}a^2-c} \\ \displaystyle -\frac{1}{2}a^2 & = &\displaystyle \frac{ab}{\frac{1}{2}a^2-c} + c\end{cases}$$である。上の式から$\displaystyle b = \frac{a^3}{2}-ac+a$であり、下の式から$\displaystyle ab = -\frac{a^4}{4}+c^2$である。最初の式に$a$を掛けて連立して整理すると、$\displaystyle c^2+a^2c-\frac{3}{4}a^4-a^2 = 0$である。$c > 0$に注意して、$\displaystyle c = \frac{-a^2+2a\sqrt{a^2+1}}{2}$となる。これから、$\displaystyle b = a^3+a-a^2\sqrt{a^2+1}$となる。

$(1)$ $a = 1$のとき$\displaystyle b = 2-\sqrt{2}, c = -\frac{1}{2} + \sqrt{2}$となるから、点$P$の座標は$\displaystyle \underline{\left(2-\sqrt{2}, -\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)}$となる。

$(2)$ $$\begin{eqnarray}\frac{db}{da} & = & 3a^2+1-2a\sqrt{a^2+1}-a^2\cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+1}} \\ & = & 3a^2+1-2a\sqrt{a^2+1}-\frac{a^3}{\sqrt{a^2+1}} \\ \frac{dc}{da} & = & \frac{1}{2}\left(-2a+2\sqrt{a^2+1}+2a\cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\right) \\ & = & \frac{1}{2}\left(-2a+2\sqrt{a^2+1}+\frac{2a^2}{\sqrt{a^2+1}}\right) \end{eqnarray}$$であるから、点$P$における$C$の傾きは、$$\begin{eqnarray}\frac{dc}{db}_{|a = 1} & = & \frac{dc}{da}_{|a=1}\cdot \frac{da}{db}_{|a = 1} \\ & = & \left .\frac{1}{2}\left(-2+2\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}\right)\middle/ \left(3+1-2\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right. \\ & = &\left. \frac{1}{2}(-2+3\sqrt{2})\middle/\left(4-\frac{5}{2}\sqrt{2}\right) \right.\\ & = & \frac{-2+3\sqrt{2}}{8-5\sqrt{2}} \\ & = & \frac{(-2+3\sqrt{2})(8+5\sqrt{2})}{64-50} \\ & = & \frac{-16+30 + (-10 + 24)\sqrt{2}}{14} \\ & = & \underline{1+\sqrt{2}}\end{eqnarray}$$となる。