[math][東京工業大学]2024年東京工業大学数学問題1

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問題

$x y$ 平面上の曲線 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ に、点 $(a, \frac{1}{2} a^{2}) (a > 0)$ で接する円のうち、 $y$ 軸の正の部分にも接するものを $S_{a}$ とおく。 $a$ が正の実数を動くときの $S_{a}$ の中心の軌跡を $C$ 、とくに $S_{1}$ の中心を $P$ とする。
$(1)$ 点 $P$ の座標を求めよ。
$(2)$ 点 $P$ における曲線 $C$ の接線の傾きを求めよ。

方針

どのような解き方で進めても良い。

解答

$(1)$ $S_{a}$ の中心の座標を $(b, c)$ 、半径を $d$ とする。 $S_{a}$ は $y$ 軸に接するので、 $d = b$ である。したがって、 $S_{a}$ の方程式は $(x - b)^{2} + (y - c)^{2} = b^{2}$ である。点 $(a, \frac{1}{2} a^{2})$ における $y = \frac{1}{2} x^{2}$ の接線は $y - \frac{1}{2} a^{2} = a (x - a)$ である。整理して、 $\begin{matrix} (1) & y = a x - \frac{1}{2} a^{2} \end{matrix}$ である。同じ点における円の接線は $(a - b) (x - b) + (\frac{1}{2} a^{2} - c) (y - c) = b^{2}$ である。整理して、 $(\frac{1}{2} a^{2} - c) y = - (a - b) x + a b + \frac{1}{2} a^{2} c - c^{2}$ である。 $(1)$ の接線の傾きは $a (> 0)$ で、 $\infty$ になることはない。したがって、 $\frac{1}{2} a^{2} - c \neq 0$ で、変形すると $\begin{matrix} (2) & y = \frac{- (a - b) x + a b}{\frac{1}{2} a^{2} - c} + c \end{matrix}$ である。 $(1)$ , $(2)$ は同一なので、 ${\begin{cases} a & = & \frac{- (a - b)}{\frac{1}{2} a^{2} - c} \\ - \frac{1}{2} a^{2} & = & \frac{a b}{\frac{1}{2} a^{2} - c} + c \end{cases}$ である。上の式から $b = \frac{a^{3}}{2} - a c + a$ であり、下の式から $a b = - \frac{a^{4}}{4} + c^{2}$ である。最初の式に $a$ を掛けて連立して整理すると、 $c^{2} + a^{2} c - \frac{3}{4} a^{4} - a^{2} = 0$ である。 $c > 0$ に注意して、 $c = \frac{- a^{2} + 2 a \sqrt{a^{2} + 1}}{2}$ となる。これから、 $b = a^{3} + a - a^{2} \sqrt{a^{2} + 1}$ となる。

$(1)$ $a = 1$ のとき $b = 2 - \sqrt{2}, c = - \frac{1}{2} + \sqrt{2}$ となるから、点 $P$ の座標は $\underset{―}{(2 - \sqrt{2}, - \frac{1}{2} + \sqrt{2})}$ となる。

$(2)$ $\begin{array}{rcl} \frac{d b}{d a} & = & 3 a^{2} + 1 - 2 a \sqrt{a^{2} + 1} - a^{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 1}} \\ = & 3 a^{2} + 1 - 2 a \sqrt{a^{2} + 1} - \frac{a^{3}}{\sqrt{a^{2} + 1}} \\ \frac{d c}{d a} & = & \frac{1}{2} (- 2 a + 2 \sqrt{a^{2} + 1} + 2 a \cdot \frac{a}{\sqrt{a^{2} + 1}}) \\ = & \frac{1}{2} (- 2 a + 2 \sqrt{a^{2} + 1} + \frac{2 a^{2}}{\sqrt{a^{2} + 1}}) \end{array}$ であるから、点 $P$ における $C$ の傾きは、 $\begin{array}{rcl} {\frac{d c}{d b}}_{| a = 1} & = & {\frac{d c}{d a}}_{| a = 1} \cdot {\frac{d a}{d b}}_{| a = 1} \\ = & \frac{1}{2} (- 2 + 2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}}) / (3 + 1 - 2 \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ = & \frac{1}{2} (- 2 + 3 \sqrt{2}) / (4 - \frac{5}{2} \sqrt{2}) \\ = & \frac{- 2 + 3 \sqrt{2}}{8 - 5 \sqrt{2}} \\ = & \frac{(- 2 + 3 \sqrt{2}) (8 + 5 \sqrt{2})}{64 - 50} \\ = & \frac{- 16 + 30 + (- 10 + 24) \sqrt{2}}{14} \\ = & \underset{―}{1 + \sqrt{2}} \end{array}$ となる。