[math][東京工業大学][確率]2024年東京工業大学数学問題4

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問題

$n$を正の整数とし、$C_1, \cdots C_n$を$n$枚の硬貨とする。各$k = 1, \cdots, n$に対し、硬貨$C_k$を投げて表が出る確率を$p_k$、裏が出る確率を$1-p_k$とする。この$n$枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。
$(1)$ $\displaystyle p_k = \frac{1}{3}\ (k = 1, \cdots, n)$のとき、このゲームで成功する確率$X_n$を求めよ。
$(2)$ $\displaystyle p_k = \frac{1}{2(k+1)}\ (k = 1, \cdots, n)$のとき、このゲームで成功する確率$Y_k$を求めよ。
$(3)$ $n = 3m$（$m$は正の整数）で、$k = 1, \cdots, 3m$に対して$$p_k = \begin{cases}\displaystyle \frac{1}{3m}\ (k = 1, \cdots, m) \\ \displaystyle \frac{2}{3m}\ (k = m+1, \cdots, 2m) \\ \displaystyle \frac{1}{m}\ (k = 2m+1, \cdots, 3m)\end{cases}$$とする。このゲームで成功する確率を$Z_{3m}$とするとき、$\displaystyle \lim_{m\to\infty}{Z_{3m}}$を求めよ。

方針

漸化式を立てるのが良い。

解答

$(1)$ $C_1, \cdots C_k\ (k = 1, \cdots, n-1)$のうち表が出た硬貨の枚数が奇数か偶数のとき、$C_{k+1}$が表か裏かで場合分けすると、$$X_{k+1} = X_k\cdot (1-p_{k+1}) + (1-X_k)\cdot p_{k+1}$$が成り立つ。$\displaystyle p_{k+1} = \frac{1}{3}$を代入すると、$$X_{k+1} = \frac{1}{3}X_k + \frac{1}{3}$$が成り立つ。変形して、$$X_{k+1}-\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\left(X_k-\frac{1}{2}\right)$$となる。繰り返し用いて、$\displaystyle X_{k}-\frac{1}{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\left(X_1-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}$である。よって、$\displaystyle \underline{X_ n = \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^{n}}$となる。これは$n = 1$のときも成り立つ。

$(2)$ $(1)$と同様に、$$Y_{k+1} = Y_k\cdot (1-p_{k+1}) + (1-Y_k)\cdot p_{k+1}$$が成り立つ。$\displaystyle p_{k+1} = \frac{1}{2(k+2)}$を代入して、$$Y_{k+1} = Y_k\left(1-\frac{1}{2(k+2)}\right) + (1-Y_k)\cdot \frac{1}{2(k+2)}$$である。変形して、$$(k+2)Y_{k+1} = (k+1)Y_{k} + \frac{1}{2}$$となる。したがって、$\displaystyle (k+1)Y_k = \frac{1}{2}(k-1) + Y_1 = \frac{k}{2}$である。よって、$\displaystyle \underline{Y_n = \frac{n}{2(n+1)}}$となる。これは$n = 1$のときも成り立つ。

$(3)$ $C_1, \cdots, C_m$で表が出る硬貨の枚数が奇数である確率を$a_m$、$C_{m+1}, \cdots, C_{2m}$で表が出る硬貨の枚数が奇数である確率を$b_m$、$C_{2m+1}, \cdots, C_{3m}$で表が出る硬貨の枚数が奇数である確率を$c_m$とする。すると、$$Z_{3m} = a_mb_mc_m + a_m(1-b_m)(1-c_m) + (1-a_m)b_m(1-c_m) + (1-a_m)(1-b_m)c_m \tag{1}\label{1}$$である。$(2)$と同様に、以下が成り立つ。$$\begin{eqnarray}a_{k + 1} & = & a_k\left(1-\frac{1}{3m}\right) + (1-a_k)\cdot \frac{1}{3m} \\ b_{k+1} & = & b_k\left(1-\frac{2}{3m}\right) + (1-b_k)\cdot \frac{2}{3m} \\ c_{k+1} & = & c_k\cdot \left(1-\frac{1}{m}\right) + (1-c_k)\cdot \frac{1}{m}\end{eqnarray}$$順番に$a_m, b_m, c_m$を求めると、$\displaystyle a_m = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{2}{3m}\right)^{m}, b_{m} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{4}{3m}\right)^{m}, c_m = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{2}{m}\right)^{m}$となる。これから$m\to \infty$のとき$$\begin{eqnarray}a_m & = & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{2}{3m}\right)^m \\ & = & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\left(1-\frac{2}{3m}\right)^{-\frac{3m}{2}}\right)^{-\frac{2}{3}} \\ & \to & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-\frac{2}{3}} \\ b_{m} & = & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{4}{3m}\right)^{m} \\ & = & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\left(1-\frac{4}{3m}\right)^{-\frac{3m}{4}}\right)^{-\frac{4}{3}} \\ & \to & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-\frac{4}{3}} \\ c_m & = & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{2}{m}\right)^{m} \\ & = & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\left(1-\frac{2}{m}\right)^{-\frac{m}{2}}\right)^{-2} \\ & \to & \frac{1}{2}-\frac{1}{2}e^{-2}\end{eqnarray}$$となる。\eqref{1}から、$$\begin{eqnarray} \lim_{m\to\infty}{Z_{3m}} & = & \frac{1-e^{-\frac{2}{3}}}{2}\cdot \frac{1-e^{-\frac{4}{3}}}{2}\cdot \frac{1-e^{-2}}{2} \\ & & + \frac{1-e^{-\frac{2}{3}}}{2}\cdot \frac{1+e^{-\frac{4}{3}}}{2}\cdot \frac{1+e^{-2}}{2} \\ & & + \frac{1+e^{-\frac{2}{3}}}{2}\cdot \frac{1-e^{-\frac{4}{3}}}{2}\cdot \frac{1+e^{-2}}{2} \\ && + \frac{1+e^{-\frac{2}{3}}}{2}\cdot \frac{1+e^{-\frac{4}{3}}}{2}\cdot \frac{1-e^{-2}}{2} \\ & = & \underline{\frac{1-e^{-4}}{2}}\end{eqnarray}$$となる。