[math][東京工業大学]2024年東京工業大学数学問題3

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問題

$xy$平面上に、点$A(a, 0), B(0, b), C(-a, 0)$（ただし$0<a<b$）をとる。点$A, B$を通る直線を$l$とし、点$C$を通り線分$BC$に垂直な直線を$k$とする。さらに、点$A$を通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を$C_1$とし、点$C_1$を通り$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$A_1$とする。以下、$n = 1, 2, 3, \cdots$に対して、点$A_n$を通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を$C_{n+1}$、点$C_{n+1}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$A_{n+1}$とする。
$(1)$ 点$A_n, C_n$の座標を求めよ。
$(2)$ $\triangle{CBA_n}$の面積$S_n$を求めよ。
$(3)$ $\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\frac{BA_n}{BC}}$を求めよ。

方針

作り方から$\triangle{BOA}$と$\triangle{A_nC_{n+1}A_{n+1}}$は相似になる。ここでは計算主体の解法を取ってみる。

解答

$(1)$ 直線$l$の方程式は$\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$である。線分$BC$の傾きは$\displaystyle \frac{b}{a}$であるから、$k$の傾きは$\displaystyle -\frac{a}{b}$で、直線$k$の方程式は$\displaystyle y = -\frac{a}{b}(x+a)$となる。点$A_n$の座標を$(x_n, y_n)$とする。点$C_{n+1}$の$x$座標は$x_n$で、これを$k$の方程式に代入して、$C_{n+1}$の座標は$\displaystyle \left(x_n, -\frac{a}{b}(x_n + a)\right)$である。点$A_{n+1}$の$y$座標は$\displaystyle -\frac{a}{b}(x_n + a)$であるから、これを$l$の方程式に代入して、点$A_{n+1}$の座標は$\displaystyle \left(\frac{a^2}{b^2}(x_n+a)+a, -\frac{a}{b}(x_n+a)\right)$となる。以上から、以下が成り立つ。$$\begin{cases}x_{n+1} & = & \displaystyle \frac{a^2}{b^2}(x_n + a) + a \\ y_{n+1} & = & \displaystyle -\frac{a}{b}(x_n+a)\end{cases}$$上の等式を変形すると、$\displaystyle x_{n+1} -\frac{a(b^2+a^2)}{b^2-a^2} = \frac{a^2}{b^2}\left(x_n-\frac{a(b^2+a^2)}{b^2-a^2}\right)$である。これを繰り返し用いて（$\displaystyle x_0 = a$に注意して）、$\displaystyle x_n-\frac{a(b^2+a^2)}{b^2-a^2} = \left(\frac{a^2}{b^2}\right)^{n}\left(a-\frac{a(b^2+a^2)}{b^2-a^2}\right)$となる。整理すると、$\displaystyle x_n = \frac{a}{b^2-a^2}\left(-2a^2\left(\frac{a}{b}\right)^{2n} + b^2+a^2\right)$となる。これから、$\displaystyle y_n = -\frac{a}{b}(x_{n-1}+a) = \frac{2a^2b}{b^2-a^2}\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{2n} -1\right)$となる。以上から、$\displaystyle \underline{A_n = \frac{a}{b^2-a^2}\left(-2a^2\left(\frac{a}{b}\right)^{2n} + b^2+a^2, 2ab\left(\frac{a}{b}\right)^{2n} – 2ab\right)}$である。$C_n$の$x$座標は$A_n$と等しく、$y$座標は$A_{n+1}$と等しいので、$\displaystyle \underline{C_n = \frac{a}{b^2-a^2}\left(-2a^2\left(\frac{a}{b}\right)^{2n}+b^2+a^2, 2ab\left(\frac{a}{b}\right)^{2(n+1)}-2ab\right)}$となる。

$(2)$ $\overrightarrow{A_nB} = (-x_n, b-y_n), A_nC = (-a-x_n, -y_n)$であるから、$$\begin{eqnarray}S_n & = & \frac{1}{2}|x_ny_n-(b-y_n)(-a-x_n)| \\ & = & \frac{1}{2}|ab + bx_n-ay_n| \\ & = & \frac{1}{2}\left|ab+\frac{ab}{b^2-a^2}\left(-2a^2\left(\frac{a}{b}\right)^{2n}+b^2+a^2\right)-\frac{2a^3b}{b^2-a^2}\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{2n}-1\right)\right| \\ & = & \frac{1}{2}\cdot \frac{ab}{b^2-a^2}\left|b^2-a^2-2a^2\left(\frac{a}{b}\right)^{2n}+b^2+a^2-2a^2\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{2n}-1\right)\right| \\ & = & \frac{ab}{b^2-a^2}\left|b^2+a^2-2a^2\left(\frac{a}{b}\right)^{2n}\right|\end{eqnarray}$$となるが、$0<a<b$より絶対値が取れて、$\displaystyle \underline{S_n = \frac{ab}{b^2-a^2}\left(b^2+a^2-2a^2\left(\frac{a}{b}\right)^{2n}\right)}$となる。

$(3)$ $$\begin{eqnarray}BA_n & = & \sqrt{{x_n}^2 + (y_n-b)^2}\end{eqnarray}$$である。$\displaystyle 0<\frac{a}{b} < 1$であるから、$n\to \infty$のとき、$\displaystyle x_n\to \frac{a(b^2+a^2)}{b^2-a^2}, y_n\to \frac{-2a^2b}{b^2-a^2}$となる。したがって、$$\begin{eqnarray}\frac{BA_n}{BC} & \to & \frac{1}{\sqrt{b^2+a^2}}\cdot \sqrt{\left(\frac{a(b^2+a^2)}{b^2-a^2}\right)^2 + \left(\frac{-2a^2b}{b^2-a^2}-b\right)^2} \\ & = & \frac{1}{\sqrt{b^2+a^2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{(b^2-a^2)^2}\left(a^2(b^2+a^2)^2+(-2a^2b-b(b^2-a^2)\right)^2} \\ & = & \frac{1}{\sqrt{b^2+a^2}(b^2-a^2)}\sqrt{a^2(b^2+a^2)^2 + b^2(b^2+a^2)^2} \\ & = & \underline{\frac{b^2+a^2}{b^2-a^2}}\end{eqnarray}$$となる。