[math][東京大学][空間求積]2024年東京大学理系数学第5問

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問題

座標空間内に$3$点$A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1)$をとり、$D$を線分$AC$の中点とする。三角形$ABD$の周および内部を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる立体の体積を求めよ。

方針

立体の求積の鉄則は、

可能な限り図形の方程式を把握する
回転軸に対して垂直な平面で切る
変数の動く範囲を考える
積分する

になる。

解答

点$D$の座標は$\displaystyle \frac{1}{2}(1, 0, 1)$になる。三角形$ABD$について、辺$AB$の方程式は$x+y=1, , z = 0, 0\leq x\leq 1$である。辺$BD$は$0<t<1$を用いて$\displaystyle (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OD} = (1-t)(0, 1, 0) + \frac{t}{2}(1, 0, 1) = \left(\frac{t}{2}, 1-t, \frac{t}{2}\right)$と書ける。これを$(X, Y, Z)$と置くと、$\displaystyle X = Z = \frac{t}{2}, Y = 1-t$であるから、線分$BD$の方程式は$\displaystyle 2x+y = 1, x = z, 0\leq x\leq \frac{1}{2}$である。辺$DA$の方程式は$\displaystyle x + z = 1, y = 0, \frac{1}{2}\leq x\leq 1$である。

求める立体を$x$軸で切る。$x = s$として、点$(s, 0, 0)$を$I$、平面$x = s$と辺$AB$との交点を$P$、平面$x = s$と辺$BD$との交点を$Q$とする。点$P$の座標は$(s, 1-s, 0)$、点$Q$の座標は$(s, 1-2s, s)$である。

$\displaystyle (i) 0\leq s\leq \frac{1}{2}$のとき、直線$PQ$は$x = s, y+z = 1-s$となる。点$I$からこの直線へ下ろした垂線の座標を$H$とすると、これは$\displaystyle \left(s, \frac{1-s}{2}, \frac{1-s}{2}\right)$となる。
$\ \ \ (i-1)$ $H$が辺$PQ$上にあるとき、$\displaystyle s\leq \frac{1-s}{2} \iff s\leq \frac{1}{3}$である。このとき、下の図から$x = s$による立体の切り口の断面積は$$\begin{eqnarray}\pi(IP^2-IQ^2) & = & \pi(1-s)^2- \pi((1-2s)^2+s^2) \\ & = & 2\pi(s-2s^2)\end{eqnarray}$$となる。
$\ \ \ (i-2)$ $H$が辺$PQ$上にないとき、$\displaystyle s\geq \frac{1-s}{2} \iff \frac{1}{3} \geq s \leq \frac{1}{2}$である。このとき、下の図から$x = s$による立体の切り口の断面積は$$\begin{eqnarray}\pi(IP^2-IH^2) & = & \pi(1-s)^2 -\pi\left(\frac{1-s}{\sqrt{2}}\right)^2 \\ & = & \frac{(1-s)^2}{2}\pi\end{eqnarray}$$となる。

左が$\displaystyle 0\leq s\leq \frac{1}{3}$のとき、右が$\displaystyle \frac{1}{3}\leq s\leq \frac{1}{2}$のとき。

$\displaystyle (ii) \frac{1}{2}\leq s \leq 1$のとき、上と同様に、点$P$の座標をとり、平面$x = s$と辺$DA$との交点を点$R$とする。直線$PR$に点$I$から下ろした垂線の足$H$は常に$PR$上にある。したがって、$x = s$による立体の切り口の断面積は$(i)-2$と同様に$\displaystyle \pi(IP^2-IH^2) = \frac{(1-s)^2}{2}\pi$となる。

以上から、求める立体の体積は、$$\begin{eqnarray}\pi\int_{0}^{\frac{1}{3}}{(s-2s^2)ds} + \pi\int_{\frac{1}{3}}^{1}{\frac{(1-s)^2}{2}ds} & = & \pi\left[s^2-\frac{4}{3}s^3\right]_{0}^{\frac{1}{3}}+\pi\left[\frac{(1-s)^3}{6}\right]_{\frac{1}{3}}^{1} \\ & = & \underline{\frac{\pi}{9}}\end{eqnarray}$$となる。