[Python]ニュートン法を用いて平方根を高精度に求める方法

はじめに

平方根の計算は、数学や科学の分野で頻繁に使われる。特に高精度な計算が必要な場合、Pythonのdecimalモジュールを利用することで精度を細かく制御できる。今回は、ニュートン法を用いて平方根を高精度に求める方法を解説する。

ニュートン法とは？

ニュートン法（Newton-Raphson法）は、非線形方程式の解を数値的に求めるための反復法である。平方根の計算では、次のような反復式を使用する。$$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{a}{x_n}}{2}$$ここで$x_n$は$n$回目の反復での推定値、$a$は平方根を求めたい値である。

実装の詳細

Pythonのdecimalモジュールを使って平方根を高精度に求める関数を紹介する。

from decimal import Decimal, getcontext

def sqrt(n, k):
    getcontext().prec = k + 1
    x = Decimal(n)
    y = Decimal(0)
    while x != y:
        y = x
        x = (x + n / x) / 2
    return round(x, k)

この関数では、以下の手順で計算を行う。

1. decimalモジュールを用いて計算の精度を設定する。

2. 初期推定値$x$を設定し、反復計算を行う。

3. 反復計算が収束したら、結果を指定の精度で丸めて返却する。

具体例：$2$の平方根を求める

実際に$2$の平方根を求めてみる。今回は小数点以下10桁までの精度で計算する。

n = 2
k = 10
result = sqrt(n, k)
print(f"The square root of {n} to {k} decimal places is {result}")

計算過程

1. 初期設定
   ・初期推定値$x=2$
   ・$y=0$
2. 1回目の反復
   ・${\displaystyle x=\frac{2+\frac{2}{2}}{2}=1.5}$
3. 2回目の反復
   ・${\displaystyle x=\frac{1.5+\frac{2}{1.5}}{2}\approx 1.4166666667}$
4. 3回目の反復
   ・${\displaystyle x=\frac{1.4167+\frac{2}{1.4167}}{2}\approx 1.4142\dots }$
5. 4回目の反復
   ・${\displaystyle x=\frac{1.4167+\frac{2}{1.4167}}{2}\approx 1.4142\dots }$

このようにして、2の平方根が約 ($1.4142135624$ ) であることがわかる。

結論

ニュートン法を使えば、平方根を高精度で求めることができた。特にPythonのdecimalモジュールを用いることで、計算精度を自由に制御できるため、科学技術計算において非常に有用である。