[Math][京都大学][特色入試]2025年京都大学理学部特色入試第1問

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問題

$n$を自然数とする。実数$x$に対し、$x$を超えない最大の整数を$[x]$とし、$f(x) = x-[x]$と定める。このとき、$1$よりも大きく、かつ整数ではないような実数$x$のうちで、$$\lim_{n\to\infty}{f\left(\frac{1}{nf(\sqrt[n]{x})}\right)} = \frac{1}{2}$$を満たすものをすべて求めよ。

方針

$f(x)$は小数部分を求める関数になる。

解答

$n$が十分に大きいとき、$\sqrt[n]{x}$は$1$に近づくから、整数部分は$1$になる。したがって、$f(\sqrt[n]{x}) = x^{\frac{1}{n}}-1$として良い。このとき、$$\begin{eqnarray}nf(\sqrt[n]{x}) & = & n(x^{\frac{1}{n}}-1)\end{eqnarray}$$である。$\displaystyle h = \frac{1}{n}$とすると、$n\to \infty$のとき、$h\to 0$で、$$\begin{eqnarray}n(x^{\frac{1}{n}}-1) & = & \frac{x^h-1}{h}\end{eqnarray}$$である。$$\lim_{n\to\infty}{f(x)} = f\left(\lim_{n\to\infty}{x}\right)$$であるから、$h\to0$のとき$$\frac{x^h-1}{h}$$を求める。$x^h = e^{h\ln{x}}$であり、これを一次近似すると、$e^{h\ln{x}} \approx 1 + h\ln{x}$となるから、$h\to 0$のとき、$\displaystyle \frac{x^h-1}{h} \to \ln{x}$となる。

したがって、この問題は$\displaystyle f\left(\frac{1}{\ln{x}}\right) = \frac{1}{2}$となる$x$を求めることに帰着される。
$(i)$ $1<x\leq e$のとき、$\displaystyle \frac{1}{\ln{x}} \geq 1$となるから、$\displaystyle f\left(\frac{1}{\ln{x}}\right) = \frac{1}{\ln{x}}-m$とする。ただし、$m$は$\displaystyle \frac{1}{\ln{x}}$の整数部分である。これが$\displaystyle \frac{1}{2}$となるのは、$\underline{x = e^\frac{2}{2m+1}}\ (m=1, 2, \cdots, )$のときである。
$(ii)$ $x > e$のとき、$\displaystyle \frac{1}{\ln{x}} < 1$となるから、$\displaystyle f\left(\frac{1}{\ln{x}}\right) = \frac{1}{\ln{x}}$となる。これが$\displaystyle \frac{1}{2}$となるのは、$\underline{x = e^2}$のときである。

まとめると、$\underline{\displaystyle x = e^{\frac{2}{2m+1}}\ (m = 0, 1, \cdots)}$となる。