[math][京都大学][特色入試]2024年京都大学理学部特色入試第3問

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問題

座標平面における領域 $A = {(x, y) | y \geq e^{x}}$ で定まる図形 $A$ を考える。 $A$ に対して、原点を中心とする回転や平行移動を何回か行って得られる図形を $n$ 個用意し、それぞれ $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ とする。このとき、 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ により座標平面全体を覆うことのできる $n$ の最小値を求めよ。

方針

$n = 4$ のときは、具体的に $y \geq e^{x} - 1$ をそれぞれ $90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}$ 回転したものを考えれば、座標平面全体を覆うことができる。問題は、 $n = 3$ のときである。

解答

$A_{1} + A_{2} + \dots + A_{n} = X_{n}$ と置く。 $A_{i} \subset B_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ を満たす $B_{i}$ に対して、 $B_{1} + B_{2} + \dots + B_{n} = Y_{n}$ と置く。 $Y_{n}$ が座標平面全体を覆うことができないのであれば、 $X_{n}$ も座標平面全体を覆うことはできない。

具体的な $B$ として、 $B = {(x, y) | x < 0, y \geq 0} \cup {(x, y) | x \geq 0, y \geq e x}$ を考える。 $y = e x$ は $x = 1$ で $y = e^{x}$ と接するので、以下の図のように $A \subset B$ であることはすぐに分かる。

$B$ の隅は楔状態領域(wedge)であり、その開き角は $e > \sqrt{3} = \tan \frac{π}{3}$ であるから、 $120^{\circ}$ 未満である。これから、一つの $B$ がある一点を中心とした小円周を覆いうる最大の円弧の広がりは $120^{\circ}$ 未満である。

任意の半径 $R$ の円 $C_{R}$ を考える。一つの $B$ が円周上で連続的に覆うことのできる最大弧は $120^{\circ}$ 未満であるから、 $2$ つあるいは $3$ つの $B$ を配置しても、カバーできる円周上の弧の合計は最大でも $360^{\circ}$ 未満である。これは円周上に覆われない弧が残ることを示している。故に、どんな配置（回転・平行移動）を行っても、 $2$ つあるいは $3$ つの $B$ でこの円 $C_{R}$ を覆うことができない。円を覆うことができない以上、座標平面全体も覆うことができない。

また、 $y \geq e^{x} - 1$ をそれぞれ $90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}$ 回転したものを考えれば、座標平面全体を覆うことができる。以上の議論から、座標平面全体を覆うことのできる $n$ の最小値は $\underset{―}{n = 4}$ である。

解説

$n = 4$ で上記のように覆えることはわかるので、 $n = 2, 3$ で駄目な理由を説明する。解答では $A$ を覆う $B$ という領域を考え、この $B$ をどのように動かしても $n = 3$ のときは座標平面全体を覆うことができないことを示している。他にも色々な方法が考えられる問題と思われる。