[math][京都大学][特色入試]2024年京都大学理学部特色入試第3問

math

2025.02.08

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問題

座標平面における領域$$A = \{(x, y) | y\geq e^x\}$$で定まる図形$A$を考える。$A$に対して、原点を中心とする回転や平行移動を何回か行って得られる図形を$n$個用意し、それぞれ$A_1, A_2, \cdots, A_n$とする。このとき、$A_1, A_2, \cdots, A_n$により座標平面全体を覆うことのできる$n$の最小値を求めよ。

方針

$n = 4$のときは、具体的に$y \geq e^x-1$をそれぞれ$90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}$回転したものを考えれば、座標平面全体を覆うことができる。問題は、$n = 3$のときである。

解答

$A_1 + A_2 + \cdots + A_n = X_n$と置く。$A_i \subset B_i\ (i = 1, 2, \cdots, n)$を満たす$B_i$に対して、$B_1 + B_2 + \cdots + B_n = Y_n$と置く。$Y_n $が座標平面全体を覆うことができないのであれば、$X_n$も座標平面全体を覆うことはできない。

具体的な$B$として、$$B = \{(x, y) | x < 0, y\geq 0\} \cup \{(x, y) | x\geq 0, y \geq ex\}$$を考える。$y = ex$は$x = 1$で$y = e^x$と接するので、以下の図のように$A \subset B$であることはすぐに分かる。

$B$の隅は楔状態領域(wedge)であり、その開き角は$\displaystyle e > \sqrt{3} = \tan{\frac{\pi}{3}}$であるから、$120^{\circ}$未満である。これから、一つの$B$がある一点を中心とした小円周を覆いうる最大の円弧の広がりは$120^{\circ}$未満である。

任意の半径$R$の円$C_R$を考える。一つの$B$が円周上で連続的に覆うことのできる最大弧は$120^{\circ}$未満であるから、$2$つあるいは$3$つの$B$を配置しても、カバーできる円周上の弧の合計は最大でも$360^{\circ}$未満である。これは円周上に覆われない弧が残ることを示している。故に、どんな配置（回転・平行移動）を行っても、$2$つあるいは$3$つの$B$でこの円$C_R$を覆うことができない。円を覆うことができない以上、座標平面全体も覆うことができない。

また、$y \geq e^x-1$をそれぞれ$90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}$回転したものを考えれば、座標平面全体を覆うことができる。以上の議論から、座標平面全体を覆うことのできる$n$の最小値は$\underline{n = 4}$である。