[math][京都大学]2025年京都大学理系数学問題3

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問題

$e$は自然対数の底とする。$\displaystyle x > \frac{1}{\sqrt{e}}$において定義された次の関数$f(x), g(x)$を考える。$$\begin{eqnarray}f(x) & = & x^2\log{x} \\ g(x) & = & x^2\log{x}-\frac{1}{1+2\log{x}}\end{eqnarray}$$実数$t$は$\displaystyle t > \frac{1}{\sqrt{e}}$を満たすとする。曲線$y = f(x)$上の点$(t, f(t))$における接線に垂直で、点$(t, g(t))$を通る直線を$l_t$とする。直線$l_t$が$x$軸と交わる点の$x$座標を$p(t)$とする。$t$が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}} \leq t\leq e$の範囲を動くとき、$p(t)$の取りうる値の範囲を求めよ。

方針

法線の方程式を書くとき、$\displaystyle y-f(t) = -\frac{1}{f^{\prime}(t)}(x-t)$などと記載しないように気をつける。この表式だと、$f^{\prime}(t) = 0$の場合を場合分けしないといけない。習慣として、$-f^{\prime}(t)(y-f(t)) = x-t$などと書くべきである。

解答

$\displaystyle f^{\prime}(x) = 2x\log{x} + x^2\cdot \frac{1}{x} = x(2\log{x} + 1)$である。これから、$\displaystyle f^{\prime\prime}(t) = 2\log{x}+1 + x\cdot \frac{2}{x} = 2\log{x} + 3$となる。$l_t$の方程式は、$$-f^{\prime}(t)(y-g(t)) = x-t$$である。したがって、$y = 0$として$p(t) = t +f^{\prime}(t)g(t)$である。$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(t)g(t) & = & f^{\prime}(t)\left(f(t)-\frac{1}{1+2\log{t}}\right)\\ & = & f^{\prime}(t)f(t)-t\end{eqnarray}$$であるから、$p(t) = f^{\prime}(t)f(t)$である。したがって、$$\begin{eqnarray}p^{\prime}(t) & = & f^{\prime\prime}(t)f(t) + {f^{\prime}(t)}^2 \\ & = & (2\log{t}+3)\cdot t^2\log{t} + {t^2(2\log{t}+1)}^2 \\ & = & t^2(2\{\log{t}\}^2 + 3\log{t}+4\{\log{t}\}^2 + 4\log{t} + 1) \\ & = & t^2(6\{\log{t}\}^2 + 7\log{t} + 1) \\ & = & t^2(6\log{t} + 1)(\log{t}+1)\end{eqnarray}$$となる。$p(t)$の増減表を書くと以下のようになる。\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline t & \frac{1}{\sqrt{e}} & \cdots & \frac{1}{\sqrt[6]{e}} & & e \\ \hline p^{\prime}(t) &0 & – & 0 & + \\ \hline p(x) & f_1 & \searrow & f_2 & \nearrow & f_3 \\ \hline \end{array}$$\begin{eqnarray}f_1 & = & 0 \\ f_2 & = & -\frac{1}{9\sqrt{e}} \\ f_3 & = & 3e^2\end{eqnarray}$$であるから、$p(t)$の動く範囲は$\displaystyle \underline{-\frac{1}{9\sqrt{e}}\leq p(t)\leq 3e^2}$となる。