[math][京都大学]2025年京都大学理系数学問題4

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問題

座標空間の$4$点$O, A, B, C$は同一平面上にいないとする。$s, t, u$は$0$ではない実数とする。直線$OA$上の点$L$、直線$OB$上の点$M$、直線$OC$上の点$N$を$$\overrightarrow{OL} = s\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OM} = t\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{ON} = u\overrightarrow{OC}$$が成り立つようにとる。
$(1)$ $s, t, u$が$\displaystyle \frac{1}{s}+\frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$を満たす範囲であらゆる値をとるとき、$3$点$L, M, N$の定める平面$LMN$は、$s, t, u$の値に無関係な一定の点$P$を通ることを示せ。さらに、そのような点$P$はただ一つに定まることを示せ。
$(2)$ 四面体$OABC$の体積を$V$とする。$(1)$における点$P$について、四面体$PABC$の体積を$V$を用いて表せ。

方針

$(1)$ ベクトル$\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OX}+y\overrightarrow{OY} + z\overrightarrow{OZ}$について、点$P$が平面$XYZ$上にある条件は$x+y+z=1$である。

$(2)$ 平面$ABC$上の点の係数を求める。

解答

$(1)$ $$\begin{eqnarray}\frac{\overrightarrow{OA}}{4} + \frac{\overrightarrow{OB}}{2} + \frac{3\overrightarrow{OC}}{4} & = & \frac{1}{4s}\overrightarrow{OL} + \frac{1}{2t}\overrightarrow{OM} + \frac{3}{4u}\overrightarrow{ON}\end{eqnarray}$$であり、$\displaystyle \frac{1}{4s}+\frac{1}{2t}+\frac{3u}{4} = 1$であるから、$\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}}{4} + \frac{\overrightarrow{OB}}{2} + \frac{3\overrightarrow{OC}}{4}$は平面$LMN$上にあり、$s, t, u$に依らない。このような点が$1$つ以上あると仮定し、その点を$$\overrightarrow{OQ} = a\overrightarrow{OA} + b\overrightarrow{OB} + c\overrightarrow{OC}$$とすると、$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$は一次独立であるから、$a, b, c$は一意に定まり、$\displaystyle (a, b, c) \ne \left(\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}\right)$である。ここで、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OQ} & = & \frac{a}{s}\overrightarrow{OL} + \frac{b}{t}\overrightarrow{OM} + \frac{c}{u}\overrightarrow{ON}\end{eqnarray}$$は平面$LMN$上にあるから、$$\frac{a}{s} + \frac{b}{t} + \frac{c}{u} = 1 \tag{a}\label{a}$$を満たす。$s, t, u$は$\displaystyle \frac{1}{s} + \frac{2}{t} + \frac{3}{u} = 4$を満たす任意の数であるから、例えば$\displaystyle (s, t, u) = (1, 1, 3), \left(\frac{1}{2}, 2, 3\right), \left(\frac{1}{3}, 4, 6\right)$とすると、\eqref{a}から$$\begin{cases} \displaystyle a + b + \frac{c}{3} & = & 1 \\ \displaystyle 2a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} & = & 1\\ \displaystyle 3a + \frac{b}{4} + \frac{c}{6} & = & 1 \end{cases}$$となる。これを解くと、$\displaystyle (a, b, c) = \left(\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}\right)$となり矛盾する。したがって、題意のような点はただ一つに定まる。

$(2)$ $(1)$から$\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{OP} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$であり、$\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} = 1$であるから、$\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{OP}$は平面$ABC$上にある。したがって、この点を$Q$とすると、$OQ: QP = 2:1$であるから、四面体$PABC$の体積は$\displaystyle \underline{\frac{1}{2}V}$となる。