[math][東京工業大学][微分]2023年東京工業大学数学問題1

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問題

実数$\displaystyle \int_{0}^{2023}{\frac{2}{x+e^x}dx}$の整数部分を求めよ。

方針

まず$0\leq x\leq 2023$で$\displaystyle \frac{2}{x+e^x}\leq \frac{2}{e^x}$であるから、$$\int_{0}^{2023}{\frac{2}{x+e^{x}}dx}\leq \int_{0}^{2023}{\frac{2}{e^x}dx}$$である。右辺の積分は計算できて、$$\begin{eqnarray} & = & 2[-e^{-x}]_{0}^{2023}\\ & = & 2(1-e^{-2023})\end{eqnarray}$$となる。$e^{-2023}$は小さいので、この値は$2$に近くなる。したがって、題意の積分の整数部分としては$0$か$1$以外にありえない。残るは左からの評価である。

解答

題意の積分の値を$I$とする。次の不等式が成り立つことを証明する。$$\frac{4}{3e^{x}}\leq \frac{2}{x+e^x}\leq \frac{2}{e^x}\ \tag{a}\label{a}$$

左辺の不等式の証明：変形すると$e^x\geq 2x$である。$f(x) = e^{x}-2x\ \ (x\geq 0)$とすると、$f^{\prime}(x) = e^x-2$であるから、$f(x)$の増減表は以下のようになる。\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline x & 0 & \cdots & \log{2} & \cdots & \infty \\ \hline f^{\prime}(x) &-2 & – & 0 & + & \infty \\ \hline f(x) & & \searrow & 2-2\log{2} & \nearrow & \infty \\ \hline \end{array}$2-2\log{2} = \log{e^2}-\log{4}$であり、$2.7<e$から$7.29<e^2$となり、$e^2-4 > 0$がわかり、$f(x) > 0$が言える。

右辺の不等式の証明：変形すると$e^x\leq x+e^x$であり、正しい。

\eqref{a}を$0$から$2023$まで積分すると、$$\frac{4}{3}\int_{0}^{2023}{e^{-x}dx}\leq I\leq \int_{0}^{2023}{2e^{-x}dx}$$である。積分を計算すると、$$\frac{4}{3}(1-e^{-2023})\leq I\leq 2(1-e^{-2023})$$となる。$$\begin{eqnarray}\frac{4}{3}(1-e^{-2023})-1 & = & \frac{1}{3}-\frac{4}{3}e^{-2023} > 0\\ 2-2(1-e^{-2023}) & = & 2e^{-2023} > 0\end{eqnarray}$$であるから、$1<I<2$である。よって、求める積分の整数部分は$\underline{1}$となる。

解説

自分で不等式を用意しなくてはならないところが難しく感じた受験生も多かったことだろう。右側の不等式については辿り着いた受験生も多かったことかと思われる。左の不等式については、以下のように見つけている。まず、$$\frac{a}{e^x}\leq \frac{2}{x+e^2}$$を満たすものとして、変形して$ax\leq (2-a)e^{x}$である。$e^x\geq x$であるがこれだと評価が追いつかない（積分をすると$1-e^{-2023}\leq I$となってしまい、$I$が$1$よりも大きいことが言えない）ので、$e^{x}\geq 2x$の形にできないか工夫してみる。このとき、$\displaystyle \frac{a}{2-a} = 2$を解くと$\displaystyle a = \frac{4}{3}$となり、これを使うことができそうである。後は実際に$e^x\geq 2x$を証明してあげれば良い。

重要なことは、$\displaystyle \frac{1}{x+e^x}$の積分において、$e^{x}$と比べて$x$の項はほとんど無視できるという大小感覚である。これが備わっていれば不等式評価してみようという気になる。いくら与えられた積分を実際に計算してみようとしても、益は少ないだろう。

解答中の$\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{4}{3}e^{-2023} > 0$についても変形して$4<e^{2023}$とすれば明らかであろう。