[math][東京工業大学][整数]2023年東京工業大学数学問題2

問題

方程式$$(x^3-x)^2(y^3-y) = 86400$$を満たす整数\((x, y)\)をすべて求めよ。

方針

\(86400 = 2^7\cdot 3^3\cdot 5^2\)であるから、左辺を因数分解すると・・・。

解答

$$x^2(x+1)^2(x-1)^2y(y+1)(y-1) = 2^7\cdot 3^3\cdot 5^2$$であるから、\(y(y+1)(y-1) > 0 \)である。したがって、\(y\geq 2\)である（\(s = t(t+1)(t-1)\)のグラフを考えると良い）。$$y(y+1)(y-1)= \frac{2^7\cdot 3^3\cdot 5^2}{x^2(x+1)^2(x-1)^2}\tag{a}\label{a}$$であり、\(y\geq 46\)とすると、$$y(y+1)(y-1)\geq 45^3$$であるから、\eqref{a}から、$$x^2(x+1)^2(x-1)^2\leq \frac{2^7\cdot 3^3\cdot 5^2}{45^3} = \frac{128}{135} < 1$$である。これから$$|x(x+1)(x-1)| = 0$$となるが、これは矛盾である。したがって\(y\leq 45\)であるが、$$x^2(x+1)^2(x-1)^2 = \frac{2^7\cdot 3^3\cdot 5^2}{y(y+1)(y-1)}$$は整数であるから、\(y\)として適するのは\(y = 2, 3, 4, 5, 9\)のみである。順に代入すると、下の表のようになる。

この中で、平方数になっているのは\(y = 2\)のとき\(\sqrt{14400} =\pm 120\)と、\(y = 3\)のとき\(\sqrt{3600} = \pm 60\)である。このとき\(x = \pm 5, \pm 4\)となる。よって、求める\(x, y\)の組は\(\underline{(x, y) = (\pm 5, 2), (\pm 4, 3)}\)である。

解説

整数問題では範囲を絞るのが鉄則であるが、解答ではかなり広い範囲で範囲を絞っている。しかし、これで十分で、なぜなら連続する\(3\)つの整数の積\(y(y+1)(y-1)\)が\(2^7\cdot 3^3\cdot 5^2\)を割り切るパターンがかなり限られているからである。たとえば、\(y = 7\)とすると、\(y(y+1)(y-1) = 7\cdot 6\cdot 8\)となり、素因数\(7\)が現れるので\(2^{7}\cdot 3^{3}\cdot 5^2\)を割り切ることはできない。参考までに、以下の表をあげておく。

実際に解答にここまで載せる必要はないが、こういった確認を行い\(y, x\)を絞り込んでいる。

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