[math][京都大学][ベクトル]2023年京都大学理系数学問題2

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問題

空間内の4O,A,B,Cは同一平面上にないとする。点D,P,Qを次のように定める。点DOD=OA+2OB+3OCを満たし、点Pは線分OA1:2に内分し、点Qは線分OBの中点である。さらに、直線OD上の点Rを、直線QRと直線PCが交点を持つように定める。このとき、線分ORの長さと線分RDの長さの比OR:RDを求めよ。

方針

一次独立を利用する。

解答

ベクトルOA=aなどと記載する。(a){d=a+2b+3cp=13aq=12bである。題意から、x,yを実数として(b)(1x)q+xr=(1y)c+ypである。(a)と、zを実数、r=zdとして(b)に代入すると、xza+(2xz+1x2)b+3xzc=y3a+(1y)cである。係数を比べて、{xz=y32xz+1x2=03xz=1yである。これを解くと、x=53,y=12,z=110となるから、OR:RD=1:9となる。

解説

文字が多くてやや混乱するかもしれないが、確実に解答していきたい。

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