[math][東京大学][座標平面]2023年東京大学理系数学問題3

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問題

$a$を実数とし、座標平面上の点$(0, a)$を中心とする半径$1$の円の周を$C$とする。
$(1)$ $C$が、不等式$y > x^2$の表す領域に含まれるような$a$の範囲を求めよ。
$(2)$ $a$は$(1)$で求めた範囲にあるとする。$C$のうち$x\geq 0$かつ$y < a$を満たす部分を$S$とする。$S$上の点$P$に対し、点$P$での$C$の接線が放物線$y = x^2$によって切り取られてできる線分の長さを$L_P$とする。$L_Q = L_R$となる$S$上の相異なる$2$点$Q, R$が存在するような$a$の範囲を求めよ。

方針

座標平面のままで考えても良いし、円なので三角関数を用いても良い。

解答

$(1)$ $C$の方程式は$x^2+(y-a)^2 = 1$である。これが$y > x^2$を満たすとき、$$\begin{eqnarray}y & > & x^2\\ \iff y & > & 1-(y-a)^2\\ \iff y^2+(1-2a)y + a^2-1 & > & 0 \end{eqnarray}$$である。最後の不等式がどんな$y$でも成り立つためには$D = (1-2a)^2-4(a^2-1) < 0$が必要である。これを解くと、$\displaystyle \underline{a > \frac{5}{4}}$が求める$a$の範囲となる。

$(2)$ $C$のうち$x\geq 0$かつ$y < a$を満たす領域は$y = -\sqrt{1-x^2} + a, 0\leq x <1$と置ける。点$P$の座標を$(p, -\sqrt{1-p^2}+a)\ \ (0\leq p <1)$とすると、点$P$での$C$の接線の方程式は$px-\sqrt{1-p^2}(y-a) = 1$となる。整理すると、$\displaystyle y = a+\frac{px-1}{\sqrt{1-p^2}}$である。この接線と$y = x^2$の交点は、$$\begin{eqnarray}x^2 & = & a+\frac{px-1}{\sqrt{1-p^2}}\\ \iff \sqrt{1-p^2}x^2 & = & a\sqrt{1-p^2}+px-1\end{eqnarray}$$の解であり、整理すると$$\sqrt{1-p^2}x^2-px-a\sqrt{1-p^2}+1 = 0$$である。解を$\alpha, \beta$とすると、$$\begin{cases}\alpha+\beta & = & \displaystyle \frac{p}{\sqrt{1-p^2}}\\ \alpha\beta & = & \displaystyle \frac{-a\sqrt{1-p^2}+1}{\sqrt{1-p^2}}\end{cases} \tag{a}\label{a}$$である。また、$$\begin{eqnarray}L_P^2 & = & (\alpha-\beta)^2 + (\alpha^2-\beta^2)^2\\ & = & (\alpha-\beta)^2 (1+(\alpha+\beta)^2)\\ & = & ((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta)(1+(\alpha+\beta)^2) \tag{b}\label{b}\end{eqnarray}$$である。\eqref{a}を\eqref{b}に代入して、$$\begin{eqnarray}L_P & = & \left(\frac{p^2}{1-p^2}-4\cdot \frac{-a\sqrt{1-p^2}+1}{\sqrt{1-p^2}}\right)\left(1+\frac{p^2}{1-p^2}\right)\\ & = & \frac{p^2+4a(1-p^2)-4\sqrt{1-p^2}}{(1-p^2)^2} \tag{c}\label{c}\end{eqnarray}$$となる。$\displaystyle q = \frac{1}{\sqrt{1-p^2}}$とすると、$\displaystyle p^2=1-\frac{1}{q^2}$であり、$0\leq p<1$のとき$q\geq 1$で、この範囲で$p$と$q$は一対一に対応する。\eqref{c}に代入して、$$\begin{eqnarray}L_P^2 & = & q^4\left(1-\frac{1}{q^2}+4a\cdot \frac{1}{q^2}-4\frac{1}{q}\right) \\ & = & q^4-4q^3+(4a-1)q^2\end{eqnarray}$$となる。$f(q) = q^4-4q^3+(4a-1)q^2\ \ (q\geq 1)$として、$f(q)$の増減を調べる。$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(q) & = & 4q^3-12q^2+2(4a-1)q\\ & = & 4q\left(q^2-3q+\frac{4a-1}{2}\right)\\ & = & 4q\left(\left(q-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+\frac{4a-1}{2}\right)\\ & = & 4q\left(\left(q-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{8a-11}{4}\right)\end{eqnarray}$$となる。$(1)$から$\displaystyle a > \frac{5}{4}$であるから、$8a-11 > -1$となる。$f(q) = 4(a-1) > 0$も加味すると、$8a-11 \geq 0$のときは$f^{\prime}(q) > 0$となり$f(q)$は単調増加となり、$-1<8a-11< 0$のときは$f^{\prime}(q) = 0$となる$q$が二つ存在し、それを順に$q_1, q_2$とすると、$f(q)$の増減は以下の様になる。\begin{array}{|c|*5{c|}}\hline x & 1 & \cdots & q_1 & \cdots & \frac{3}{2} & \cdots & q_2 \\ \hline f^{\prime}(q) & 8a-10 & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(q) & 1 & \nearrow & & \searrow & + & \nearrow \\ \hline \end{array}以上から、求める条件は$\displaystyle \underline{\frac{5}{4}<a<\frac{11}{8}}$となる。

解説

$(2)$ 方針が立たないということはないが、なかなか解きにくい問題である。予備校の解答速報などで、最初から三角関数を用いているところが多いが、そうでなくても問題はない。

$L_P$を求めた後は、極値を持つ条件を求める。結局は解の配置の問題に帰着される。なお、$(2)$の解答は$\displaystyle \frac{10}{8}<a<\frac{11}{8}$で、意外に狭い範囲である。参考までに、$\displaystyle a = \frac{10.5}{8}$のときの$f(q)$のグラフを以下に示す。