[math][東京医科歯科大学][座標空間]2023年東京医科歯科大学数学問題2

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問題

$xyz$空間において、$3$点$(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)$を通る平面$\pi_1$と、$3$点$(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$を通る平面$\pi_2$を考える。$x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = -2$として、点$P_0(x_0, y_0, z_0)$から初めて、次の手順で順に点$P_1(x_1, y_2, z_1), P_2(x_2, y_2, z_2)\cdots$を決める。
$\ \ \text{・}$$k$が偶数のとき、$\pi_1$上の点で点$P_k(x_k, y_k, z_k)$からの距離が最小となるものを$P_{k+1}(x_{k+1}, y_{k+1}, z_{k+1})$とする。
$\ \ \text{・}$$k$が奇数のとき、$\pi_2$上の点で点$P_k(x_k, y_k, z_k)$からの距離が最小となるものを$P_{k+1}(x_{k+1}, y_{k+1}, z_{k+1})$とする。
このとき以下の各問に答えよ。
$(1)$ $\pi_2$に直行するベクトルのうち、長さが$1$で$x$成分が正のもの$\overrightarrow{n_2}$を求めよ。
$(2)$ $x_{k+1}, y_{k+1}, z_{k+1}$をそれぞれ$x_k, y_k, z_k$を用いて表わせ。
$(3)$ $\displaystyle \lim_{k\to\infty}{x_k}, \lim_{k\to\infty}{y_k}, \lim_{k\to\infty}{z_k}$を求めよ。

方針

誘導があるので自分で考える部分は少ない。

解答

$(1)$ 平面$\pi_2$は$\displaystyle x+y+z=1$である。この平面の法線ベクトルは$(1, 1, 1)^T$であるから、$\displaystyle \underline{\overrightarrow{n_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}}$となる。

$(2)$ $k$が偶数のとき、$\underline{P_{k+1} = (x_k, y_k, 0)}$である。$k$が奇数のとき$$P_{k+1} = P_{k} + t\overrightarrow{n_2}$$と置くことができる。計算すると、$$\begin{eqnarray}P_{k+1} & = & \begin{pmatrix}x_k\\ y_k \\ z_k\end{pmatrix} + \frac{t}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\\ & = & \begin{pmatrix}x_k + \frac{t}{\sqrt{3}}\\ y_k + \frac{t}{\sqrt{3}}\\ z_k + \frac{t}{\sqrt{3}}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$$である。$P_{k+1}$は平面${\pi}_2$上にあるから、$$x_k+\frac{t}{\sqrt{3}}+y_k+\frac{t}{\sqrt{3}}+z_k+\frac{t}{\sqrt{3}} = 1$$となる。したがって、$\displaystyle t = \frac{1-x_k-y_k-z_k}{\sqrt{3}}$となる。これから$\displaystyle \underline{P_{k+1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2x_k-y_k-z_k+1\\ -x_k+2y_k-z_k+1\\ -x_k-y_k+2z_k+1\end{pmatrix}}$となる。

$(3)$ $(2)$から$l$を整数として、$$\begin{cases}x_{2l+1} & = & x_{2l}\\ y_{2l+1} & = &y_{2l}\\ z_{2l+1} & = & 0 \end{cases} \tag{a}\label{a}$$および$$\begin{cases}x_{2l+2} & = & \displaystyle \frac{1}{3}(2x_{2l+1}-y_{2l+1}-z_{2l+1}+1)\\ y_{2l+2} & = & \displaystyle \frac{1}{3}(-x_{2l+1}+2y_{2l+1}-z_{2l+1}+1)\\ z_{2l+2} & = & \displaystyle \frac{1}{3}(-x_{2l+2}-y_{2l+1}+2z_{2l+1}+1)\end{cases} \tag{b}\label{b}$$となる。\eqref{a}, \eqref{b}から、$$\begin{cases}x_{2l+2} & = & \displaystyle \frac{1}{3}(2x_{2l}-y_{2l}+1)\\ y_{2l+1} & = & \displaystyle \frac{1}{3}(-x_{2l}+2y_{2l}+1)\\ z_{2l+2} & = & \displaystyle \frac{1}{3}(-x_{2k}-y_{2l}+1)\end{cases} \tag{c}\label{c}$$である。\eqref{c}から、$$\begin{cases}x_{2l+2}+y_{2l+2} & = & \displaystyle \frac{1}{3}(x_{2l}+y_{2l}+2) \\ x_{2l+2}-y_{2l+2} & = & x_{2l}-y_{2l}\\ x_{2l+2}+y_{2l+2}+z_{2l+2} & = & 1 \end{cases}\tag{d}\label{d}$$となる。$x_{2l}+y_{2l} = w_{2l}$とすると、$w_0 = 3$であり、\eqref{d}の一番上の式から$3w_{2l+2} = w_{2l}+2$である。変形して、$\displaystyle w_{2l+2}-1 = \frac{1}{3}\left(w_{2l}-1\right)$であるから、$\displaystyle w_{2l}-1=\left(\frac{1}{3}\right)^{l}\left(3-1\right)$となる。よって、$\displaystyle x_{2l}+y_{2l} = 2\left(\frac{1}{3}\right)^{l}+1$である。\eqref{d}の真ん中の式から、$x_{2l}-y_{2l} = x_0-y_0 = -1$であるから、$\displaystyle x_{2l} = \left(\frac{1}{3}\right)^{l}, y_{2l} = \left(\frac{1}{3}\right)^{l}+1$である。また、\eqref{d}の下の式から、$\displaystyle z_{2l} = -2\left(\frac{1}{3}\right)^{l}$となる。これは$l = 0$で成り立つ。以上から、$k$が偶数のとき、$$x_{k} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{k}{2}}, y_{k} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{k}{2}}+1, z_{k} = -2\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{k}{2}}$$であり、$k$が奇数のとき$${x_{k} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{k-1}{2}}, y_{k} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{k-1}{2}}+1, z_{k} = 0}$$である。極限は、$$\underline{\lim_{k\to\infty}{x_k} = 0, \lim_{k\to\infty}{y_k} = 1, \lim_{k \to\infty}{z_k} = 0}$$である。

解説

$(1)$ $xy$平面上の直線$ax+by = 1$に垂直なベクトルは$\displaystyle \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$である。これは、ある一方向のベクトルと、ある一点を決めれば直線が決定されることからすぐに分かる。どういうことかというと、図のようにある直線と垂直なベクトル$\displaystyle \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$と、直線上の点$(x_0, y_0)$を定めれば、直線上の点$(x, y)$に対して$$\begin{pmatrix}x-x_0\\ y-y_0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} = 0$$となり、これを整理すると$ax+by = 1$の形になる。

全く同様に、$xyz$空間上の平面$ax+by+cz = 1$に垂直なベクトルは$\displaystyle \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}$となる。

$(2)$ 奇遇で場合分けする。数列の漸化式についてはどんな解き方でも良いだろう（推測して帰納法でも十分）。

$(3)$ 偶数奇数で極限が一致するかどうかに注意する。