[math][東京工業大学][確率]2023年東京工業大学数学問題3

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問題

（$60$点）
実数が書かれた$3$枚のカード$\fbox{0}, \fbox{1},$$\fbox{\(\sqrt{3}$}\)から、無作為に$2$枚のカードを順に選び、出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える。正の整数$n$に対して、この操作を$n$回繰り返して得られる$n$個の複素数の積を$z_n$で表す。
$(1)$ $|z_n| < 5$となる確率$P_n$を求めよ。
$(2)$ ${z_n}^2$が実数となる確率$Q_n$を求めよ。

方針

作られる複素数の候補は、$i, i\sqrt{3}, 1, 1+i\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3}+i$の$6$通りで、絶対値は順に$1, \sqrt{3}, 1, 2, \sqrt{3}, 2$になる。

解答

$(1)$ まず$n = 1, 2$のときは、常に$|z_n| < 5$であるから$P_1 = 1, P_2 = 1$である。$n\geq 3$のとき、絶対値が$1$である複素数が出る回数を$a$回、絶対値が$\sqrt{3}$である複素数が出る回数を$b$回、絶対値が$2$である複素数が出る回数を$c$回とする。それぞれの絶対値になる確率は、いずれも$\displaystyle \frac{1}{3}$である。
$\ \ (i)$ $a = n$のとき、$z_n$の絶対値は$1$で、そのようになる確率は$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{3^n}$である。
$\ \ (ii)$ $a = n-1, b = 1$のとき、$z_n$の絶対値は$\sqrt{3}$で、そのようになる確率は$\displaystyle _{n}{\mathbb{C}}_{1}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\cdot \frac{1}{3} = \frac{n}{3^n}$である。
$\ \ (iii)$ $a = n-1, c = 1$のとき、$z_n$の絶対値は$2$で、そのようになる確率は$\displaystyle _{n}{\mathbb{C}}_{1}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\cdot \frac{1}{3} = \frac{n}{3^n}$である。
$\ \ (iv)$ $a = n-2, b = 1, c = 1$のとき、$z_n$の絶対値は$2\sqrt{3}$で、そのようになる確率は$\displaystyle 2\cdot _{n}{\mathbb{C}}_{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-2}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n(n-1)}{3^n}$である。
$\ \ (v)$ $a = n-2, b = 2$のとき、$z_n$の絶対値は$3$で、そのようになる確率は$\displaystyle _{n}{\mathbb{C}}_{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{n(n-1)}{2\cdot 3^n}$である。
$\ \ (vi)$ $a = n-2, c = 2$のとき、$z_n$の絶対値は$4$で、そのようになる確率は$\displaystyle _{n}{\mathbb{C}}_{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-2}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{n(n-1)}{2\cdot 3^n}$である。
$\ \ (vii)$ $b \geq 2$かつ$ c \geq 1$のとき、$|z_n| > 5$である。

以上から、求める確率は$$\begin{eqnarray}P_n & = & \frac{1}{3^n} + 2\cdot \frac{n}{3^n}+ \frac{n(n-1)}{3^n} + 2\cdot \frac{n(n-1)}{2\cdot 3^n}\\ & = & \underline{\frac{2n^2+1}{3^n}} \end{eqnarray}$$である。これは、$n = 1, 2$のときにも成立する。

$(2)$ $i, i\sqrt{3}, 1, 1+i\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3}+i$の偏角は順に$90^\circ, 90^\circ, 0^\circ, 60^\circ, 0^\circ, 30^\circ$である。したがって、この$6$個の複素数を二乗したものの偏角は順に$\displaystyle 180^\circ, 180^\circ, 0^\circ, 120^\circ, 0^\circ, 60^\circ$となる。$z_n^2$が実数でないとき、取りうる偏角の値はこれらの組み合わせである$60^\circ, 120^\circ, 240^\circ, 300^\circ$のいずれかである。下の表のように、いずれの偏角に対しても、$z_{n+1}^2$が実数になるような複素数がただ一つ存在する。

$z_n^2$	複素数	$z_{n+1}^2$
$60^\circ$	$120^\circ$	$180^\circ$
$120^\circ$	$60^\circ$	$180^\circ$
$240^\circ$	$120^\circ$	$360^\circ$
$300^\circ$	$120^\circ$	$360^\circ$

$z_n^2$と$z_{n+1}^2$

したがって、次の漸化式が成り立つ。$$\begin{eqnarray}Q_{n+1} & = & Q_{n}\times \frac{4}{6} + (1-Q_{n})\times \frac{1}{6} \\ & = & \frac{1}{2}Q_n + \frac{1}{6}\end{eqnarray}$$この式を変形すると、$$\begin{eqnarray}Q_{n+1}-\frac{1}{3} & = & \frac{1}{2}\left(Q_n-\frac{1}{3}\right)\end{eqnarray}$$である。$\displaystyle Q_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$であるから、求める答えは$$\begin{eqnarray}Q_n & = & \frac{1}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)\\ & = & \underline{\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + \frac{1}{3}}\end{eqnarray}$$となる。

解説

難しくはないが、受験生の実力を図るのに良い問題であろう。$(1)$は場合を分けて数え上げ、$(2)$は漸化式の立式と状況に応じた解法が求められている。

$2$は偏角に応じて細かく場合分けしてもよいが、解答の程度で十分である。

\(z_n^2\)	複素数	\(z_{n+1}^2\)
\(60^\circ\)	\(120^\circ\)	\(180^\circ\)
\(120^\circ\)	\(60^\circ\)	\(180^\circ\)
\(240^\circ\)	\(120^\circ\)	\(360^\circ\)
\(300^\circ\)	\(120^\circ\)	\(360^\circ\)

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