[math][東京工業大学]2023年東京工業大学数学問題4

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問題

$xyz$空間において、$x$軸を軸とする半径$2$の円柱から、$|y|<1$かつ$|z|<1$で表される角柱の内部を取り除いたものを$A$とする。また、$A$を$x$軸のまわりに$45^{\circ}$回転してから$z$軸のまわりに$90^{\circ}$回転したものを$B$とする。$A$と$B$の共通部分の体積を求めよ。

方針

数式で図形の形状を追い求めてみる。

解答

$x$軸を軸とする半径$2$の円柱は、$y^2+z^2=4$と表すことができる。

$|y|=1$および$|z|=1$を$x$軸の周りに$45^{\circ}$回転させたものは、それぞれ$|y+z|=\sqrt{2}, |y-z| = \sqrt{2}$となる。

$y = |1|$および$|z| = 1$を$x$軸の周りに$45^{\circ}$回転させた直線。

これをさらに$z$軸の周りに$90^{\circ}$回転させたものは、$x^2+z^2 = 4, |x+z|=\sqrt{2}, |x-z| = \sqrt{2}$である。したがって、$$\begin{cases}A: y^2+z^2\leq 4,\ |y|\geq 1,\ |z| \geq 1\\ B: x^2+z^2\leq 4,\ |x+z|\geq \sqrt{2},\ |x-z| \geq \sqrt{2}\end{cases}$$となる。

$z = t$を固定して考える。ただし、$y^2+t^2=4, x^2+t^2=4$から$-2\leq t\leq 2$である。また、対称性から、$t\geq 0$の場合を考えて、後で体積を$2$倍すれば良い。したがって、$0\leq t\leq 2$とする。まず$A$について考える。下の図から、$0\leq t\leq 1$のときは$1\leq x\leq \sqrt{4-t^2}$であり、$1\leq t\leq 2$のときは$0\leq x\leq \sqrt{4-t^2}$である。

次に$B$について考える。下の図から、$0\leq t\leq \sqrt{2}$のときは$-t+\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{4-t^2}$であり、$\sqrt{2}\leq t\leq 2$のときは$0\leq x\leq \sqrt{4-t^2}$である。

以上から、$z = t$による求める立体の断面積は以下の式で表される（第$1$から第$4$象限でそれぞれ同様に考えられ、$4$倍するので）。$$\begin{cases}4(\sqrt{4-t^2}-1)(\sqrt{4-t^2}-(-t+\sqrt{2}))\ \ (0\leq t\leq 1) \\ 4\sqrt{4-t^2}(\sqrt{4-t^2}-(-t+\sqrt{2}))\ \ (1\leq t\leq \sqrt{2})\\ (\sqrt{4-t^2})^2\ \ 4(\sqrt{2}\leq t\leq 2)\end{cases}$$

求める体積を$V$とすると、$$\begin{eqnarray}\frac{V}{8} & = & \int_{0}^{1}{\left(-t^2-t+4+\sqrt{2}+t\sqrt{4-t^2}-(\sqrt{2}+1)\sqrt{4-t^2}\right)dt}\\ & & + \int_{1}^{\sqrt{2}}{\left((-t^2+4)+t\sqrt{4-t^2}-\sqrt{2}\sqrt{4-t^2}\right)dt}\\ & & + \int_{\sqrt{2}}^{2}{(-t^2+4)dt}\\ & = & \left[-\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+(4+\sqrt{2})t\right]_{0}^{1}+\left[-\frac{1}{3}(4-t^2)^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}-(\sqrt{2}+1)\times (a)\\ & & + \left[-\frac{t^3}{3} +4t\right]_{1}^{\sqrt{2}}+\left[-\frac{1}{3}(4-t^2)^{\frac{3}{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}}-\sqrt{2}\times (b)\\ & & + \left[-\frac{t^3}{3}+4t\right]_{\sqrt{2}}^{2}\\ & = & \frac{15}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}-(\sqrt{2}+1)\times (a)-\sqrt{2}\times (b)\end{eqnarray}$$となる。$(a), (b)$の積分は下の図から順に$$\begin{cases}(a) & = &\displaystyle \frac{1}{2}\times \left(\frac{\pi}{6}\right)\times 2^2+\frac{\sqrt{3}}{2}\\ & = & \displaystyle \frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\(b) & = & \displaystyle \frac{1}{2}\times \left(\frac{\pi}{4}\right)\times 2^2+\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}-(a)\\ & = & \displaystyle \frac{\pi}{2}+1-\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ & = & \displaystyle \frac{\pi}{6}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$$である。