[math][複素数平面]2021東京大学理系数学問題2

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2023.10.07

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問題

複素数$a, b, c$に対して整式$f(z) = az^2+bz+c$を考える。$i$を虚数単位とする。
$(1)$ $\alpha, \beta, \gamma$を複素数とする。$f(0) = \alpha, f(1) = \beta, f(i) = \gamma$が成り立つとき、$a, b, c$をそれぞれ$\alpha, \beta, \gamma$で表わせ。
$(2)$ $f(0), f(1), f(i)$がいずれも$1$以上$2$以下の実数であるとき、$f(2)$の取りうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

方針

一文字固定して考えると良い。

解答

$(1)$ 与えられた条件から、$$\begin{cases}f(0) = c = \alpha\\ f(1) = a+b+c = \beta\\ f(i) = -a+bi+c = \gamma\end{cases}$$となる。計算すると、$\displaystyle a= \frac{\beta-\gamma}{2}+\frac{-2\alpha+\beta+\gamma}{2}i, b= \frac{-2\alpha+\beta+\gamma}{2}+\frac{2\alpha-\beta-\gamma}{2}i, c = \alpha$となる。

$(2)$ $(1)$から$$\begin{eqnarray}f(2) & = & 4a+2b+c\\ & = & 2(\beta-\gamma) +2(-2\alpha+\beta+\gamma)i \\ & & +(-2\alpha+\beta+\gamma)+(2\alpha-\beta-\gamma)i + \alpha\\ & = & (-\alpha+3\beta-\gamma) + (-2\alpha+\beta+\gamma)i\end{eqnarray}$$となる。$x = -\alpha+3\beta-\gamma, y = -2\alpha+\beta+\gamma$とする。このとき、$$\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ -2\end{pmatrix}\alpha + \begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix}\beta + \begin{pmatrix}-1\\ 1\end{pmatrix}\gamma\end{eqnarray}$$である。$\gamma$を無視して$\alpha, \beta$のみを考えると、$1\leq \alpha\leq 2, 1\leq \beta \leq 2$であるから、$$\begin{eqnarray}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ -2\end{pmatrix}\alpha + \begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix}\beta\end{eqnarray}$$は下図の平行四辺形の範囲を動く。