[math][京都大学]2024年京都大学理学部特色入試第3問

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問題

座標平面上の円$D_1: x^2+y^2 = 64$と円$D_2: x^2+(y-4)^2 = 9$に関して、以下の設問に答えよ。
$(1)$ 座標平面上の$3$点$(0, 8), (3\sqrt{7}, 1), (-3\sqrt{7}, 1)$を頂点とする三角形の外接円は$D_1$であり、内接円は$D_2$であることを示せ。
$(2)$ $D_1$が外接円であり、さらに$D_2$が内接円である任意の三角形$\triangle{ ABC}$に対して、実数$\alpha, \beta, \gamma$を$$\begin{eqnarray}\alpha & = & \frac{\text{AB} + \text{BC} + \text{CA}}{2} – \text{BC}, \\ \beta & = & \frac{\text{AB} + \text{BC} + \text{CA}}{2} – \text{CA}, \\ \gamma & = & \frac{\text{AB} + \text{BC} + \text{CA}}{2} – \text{AB},\end{eqnarray}$$と定める。このとき$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 105$が成り立つことを示せ。

方針

ヘロンの公式の証明をする必要はないだろう。

解答

$(1)$ $0^2+8^2 = 64, (\pm 3\sqrt{7})^2 + 1^2 = 64$であるから、$3$点$(0, 8), (3\sqrt{7}, 1), (-3\sqrt{7}, 1)$は円$D_1$上にある。したがって、この三角形の外接円は$D_1$である。また、点$(0, 8), (3\sqrt{7}, 1)$を通る直線は$\displaystyle y – 8 = \frac{1-8}{3\sqrt{7}}x$であるが、これを変形すると$\sqrt{7}x+3y-24 = 0$である。この直線と点$(0, 4)$との距離は$$\begin{eqnarray}\frac{|\sqrt{7}\cdot 0 +3\cdot 4-24|}{\sqrt{(\sqrt{7})^2+3^2}} & = & 3\end{eqnarray}$$である。同様に、点$(0, 8), (-3\sqrt{7}, 1)$を通る直線は$\displaystyle y – 8 = \frac{1-8}{-3\sqrt{7}}x$であるが、これを変形すると$\sqrt{7}x-3y+24 = 0$である。この直線と点$(0, 4)$との距離は$$\begin{eqnarray}\frac{|\sqrt{7}\cdot 0 -3\cdot 4+24|}{\sqrt{(\sqrt{7})^2+(-3)^2}} & = & 3\end{eqnarray}$$である。最後に、直線$y = 1$と点$(0, 4)$との距離は$3$である。以上から、$D_2$はこの三角形の内接円となる。

$(2)$ $\alpha + \beta + \gamma = \omega$と置くと、$\omega$は実数で、$$\begin{eqnarray}\omega & = & \alpha + \beta + \gamma \\ & = & \frac{1}{2}(AB + BC + CA)\end{eqnarray}$$である。三角形$\triangle{ABC}$の面積を$S$とすると、ヘロンの公式から$$S = \sqrt{(\alpha+\beta + \gamma)\alpha\beta\gamma}$$であるから、$$S = \sqrt{\omega\alpha\beta\gamma} \tag{1}\label{1}$$である。また、$D_2$は三角形の内接円だから、半径を$r = 3$とすると、$$S = \frac{r}{2}(AB+BC+CA)$$であり、変形すると$$S = \omega r \tag{2}\label{2}$$である。\eqref{1}, \eqref{2}から、$\omega\alpha\beta\gamma = {\omega}^2r^2$であり、$$\alpha\beta\gamma = \omega r^2 \tag{3}\label{3}$$がわかる。さらに、外接円$D_1$の半径を$R = 8$とすると、$$S = \frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R} \tag{4}\label{4}$$が成り立つ。

ここで、$\alpha, \beta, \gamma$は以下のように変形できる。$$\begin{eqnarray}\alpha & = & \alpha + \beta + \gamma – BC \\ & = & \omega – BC \\ \beta & = & \alpha + \beta + \gamma – CA \\ & = & \omega – CA \\ \gamma & = & \alpha + \beta + \gamma – AB \\ & = & \omega – AB\end{eqnarray}$$したがって、$$\begin{eqnarray} AB & = & \omega -\gamma \\ BC & = & \omega – \alpha \\ CA & = & \omega – \beta \end{eqnarray}$$であり、\eqref{4}から、$$\begin{eqnarray}4RS & = & (\omega -\alpha)(\omega – \beta)(\omega – \gamma)\\ & = & {\omega}^3-(\alpha+\beta+\gamma){\omega}^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma + \gamma\alpha)\omega -\alpha\beta\gamma \\ & = & (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\omega-\alpha\beta\gamma \tag{5}\label{5}\end{eqnarray}$$である。\eqref{5}に\eqref{2}, \eqref{3}を代入して、$$4R\omega r = (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)\omega – \omega r^2$$である。整理すると、$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 4Rr+r^2$となり、$R = 8, r = 3$であるから、$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 105$がわかる。