[math][東京大学]2024年東京大学理系数学第6問

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問題

$2$以上の整数で、$1$とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。
$(1)$ $f(x) = x^3+10x^2+20x$とする。$f(n)$が整数になるような整数$n$をすべて求めよ。
$(2)$ $a, b$を整数の定数とし、$g(x) = x^3+ax^2+bx$とする。$g(n)$が素数となるような整数$n$の個数は$3$個以下であることを示せ。

方針

$(2)$ が難しい。素数である、という条件は強い条件なので、はじめから二次方程式の判別式ではなく、解を主役にしたほうがいいだろう。

解答

$(1)$ $f(n) = n(n^2+10n+20)$であるから、$h(n) = n^2+10n+20$として、$f(n)$が素数になるのは以下のいずれかの場合である。$$\begin{cases}n = 1\text{で}h(1)\text{が素数} \\ n = -1\text{で}h(-1)\text{が素数}\times -1 \\ n = p\ \ (p\text{は素数})\text{で}h(p) = 1 \\ n = -q\ \ (q\text{は素数})\text{で}h(-q) = -1 \end{cases}$$$n = 1$のとき、$h(1) = 31$は素数である。$n = -1$のとき、$h(-1) = 11$でこれは素数$\times -1$ではない。$n^2+10n+20 =1$のとき、$n$は整数でない。$n^2+10n + 20 = -1$のとき、変形して$(n+3)(n + 7) = 0$、すなわち$n = -3, -7$となる。$f(-3) = 3, f(-7) = 7$はともに素数であるから、求める答えは$\underline{n = 1, -3, -7}$となる。

$(2)$ $(1)$と同様に考える。ここでも$h(n) = n^2+an+b$と置いておく。$n = 1$のとき、$h(1) = 1+a+b$であり、$n = -1$のとき$-(h(-1) = -1+a-b$である。$n = p$のとき、$h(p) = p^2+ap+b$、$n = -q$のとき、$h(-q) = q^2-aq+b$である。$h(p) = 1, h(-q) = -1$が同時に成り立つような素数$p, q$が存在すると仮定すると、辺ごとに引いて、$p^2-q^2 + a(p+q)-2 = 0$である。変形して、$(p+q)(p-q+a) = 2$である。$p, q$は素数なので、$p + q > 2$であり、これを満たす$p, q$は存在しない。したがって、$h(1) = 1+a+b, -h(-1) = -1+a-b$がともに素数のとき、$h(p) = 1$となる$p$が一つであること、あるいは、$h(1) = 1+a+b, -h(-1) = 1-a+b$がともに素数のとき、$h(-q) = -1$となる$q$が一つであること、を示せば良い。

$h(1) = 1+a+b, -h(-1) =-1+a-b$がともに素数のとき、$(1+a+b)+(-1+a-b) =2a > 0$である。一方、$h(p) = p^2+ap+b = 1$を満たす$p$が二つあると仮定して、$p = p_1, p_2$とすると、解と係数の関係から$p_1 + p_2 = -a < 0$となり、矛盾する。

$h(1) = 1+a+b, -h(-1) =-1+a-b$がともに素数のとき、$h(-q) = q^2-aq+b = -1$を満たす$q$が二つあると仮定して、$q = q_1, q_2$とすると、解と係数の関係から$q_1 + q_2 = a, q_1q_2 = b+1$となり、$-1+a-b = -1+q_1+q_2 -(q_1q_1-1) =1-(q_1-1)(q_2-1) < 0$（$q_1, q_2$は異なる素数）となり、矛盾する。

以上から、$g(n)$が素数になる$n$は高々$3$個である。