[math][京都大学]2024年京都大学理系数学問題4

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問題

与えられた自然数$a_0$に対して、自然数からなる数列$a_0, a_1, a_2, \cdots $を次のように定める。$$a_{n+1} = \begin{cases}\displaystyle \frac{a_n}{2}\ \ \ (n\text{が偶数のとき}) \\ \\ \displaystyle \frac{3a_n+1}{2} \ \ \ (n\text{が奇数のとき})\end{cases}$$次の問に答えよ。
$(1)$ $a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$がすべて奇数であるような最小の自然数$a_0$を求めよ。
$(2)$ $a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_{10}$がすべて奇数であるような最小の自然数$a_0$を求めよ。

方針

$(2)$ $(1)$から気がつくことができれば・・・。

解答

$(1)$ $a_0 = 1$のとき、$a_1 = 2$でだめ。

$a_0 = 3$のとき、$a_1 = 5, a_2 = 8$でだめ。

$a_0 = 7$のとき、$a_1 =11, a_2 = 17, a_3 = 26$でだめ。

$a_0 = 9$のとき、$a_1 = 14$でだめ。

一般に、$a_0 = 4k+1$（$k$は整数）の形のとき、$a_1 = 6k+2$は偶数なので、以後$a_0 = 4k+3$の形のときを考える。

$a_0 = 11$のとき、$a_0 = 7$のときの計算からだめ。

$a_0 = 15$のとき、$a_1 = 23, a_2 = 35, a_3 = 53$となり、$a_0, a_1, a_2, a_3$はすべて奇数。よって求める答えは$\underline{a_0 = 15}$である。

$(2)$ $a_0 = 2^{11}-1 = 2047$のとき、$a_1 = 3\cdot 2^{10}-1, a_2 = 3^2\cdot 2^9-1, \cdots, a_{10} =3^{10}\cdot 2-1$はすべて奇数である。$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10}$がすべて奇数のとき、与えられた漸化式から$\displaystyle a_{k+1} = \frac{3a_k + 1}{2}\ \ (k = 0, 1, \cdots, 9)$である。変形すると、$\displaystyle a_{k}+1 = \frac{2}{3}(a_{k+1}+1)$となる。したがって、$\displaystyle a_{0}+1 = \left(\frac{2}{3}\right)^{k}(a_k+1)$である。$a_0$が自然数であるためには、$a_{k}+1$が$3^k$の倍数である必要がある。また、$a_0$は$a_k$に関して単調増加であるから、できるだけ小さい$a_k$を取るようにすれば良い。$a_k + 1 = 3^k\cdot l$のとき、$a_k = 3^k\cdot l-1$であるが、$l = 1$とすると$a_k$は偶数になる。したがって、$l = 2$とすると良く、このとき$a_0 = 2^{k+1}-1, a_k = 3^{k}\cdot 2-1\ (k = 1, 2, \cdots, 10)$となり、これはすべて奇数である。以上から、求める答えは$\underline{a_0 = 2047}$となる。