[math][東京医科歯科大学]2024年東京医科歯科大学数学問題3

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問題

$(1)$ 次の等式を示せ。$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin{2x})\sin{x}dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin{2x})\cos{x}dx}$$
$(2)$ 次の等式を示せ。$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin{2x})(\sin{x}+\cos{x})dx} = \int_{-1}^{1}{f(1-t^2)dt}$$
$(3)$ 次の定積分の値を求めよ。$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin{x}}{1+\sqrt{\sin{2x}}}dx}$$

方針

$(3)$ 誘導を利用するが、それだけではすぐに解けない。

解答

$(1)$ $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}-x$とすると、$$\begin{eqnarray}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin{2x})\cos{x}dx} & = & \int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{f\left(\sin{2\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}\right)\cos{\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}(-dt)}\\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin{2t})\sin{t}dt}\end{eqnarray}$$である。

$(2)$ $\sin{x} -\cos{x} = t$と置くと、$1-2\sin{x}\cos{x} =t^2$であるから、$\sin{2x} = 1-t^2$である。$x = 0$のとき$t = -1$で、$\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$のとき$t = 1$である。また、$(\cos{x}+\sin{x})dx = dt$であるから、$$\begin{eqnarray}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin{2x})(\sin{x}+\cos{x})dx} & = & \int_{-1}^{1}{f(1-t^2)t}dt\end{eqnarray}$$となる。

$(3)$ 求める定積分の値を$I$とする。$\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+\sqrt{x}}$とする。$(1), (2)$から$$\begin{eqnarray}2I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin{2x})(\sin{x}+\cos{x})dx} & = & \int_{-1}^{1}{f(1-t^2)dt} \\ & = & \int_{-1}^{1}{\frac{dt}{1+\sqrt{1-t^2}}} \\ & = & 2\int_{0}^{1}{\frac{dt}{1+\sqrt{1-t^2}}} \end{eqnarray}$$である。したがって、$\displaystyle I = \int_{0}^{1}{\frac{dt}{1+\sqrt{1-t^2}}}$である。$t = \sin{\theta}$と再度置換すると、$dt = \cos{\theta}d\theta$であるから、$$\begin{eqnarray} I & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{1+\cos{\theta}}\cos{\theta}d\theta} \\ & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left(1-\frac{1}{1+\cos{\theta}}\right)d\theta}\end{eqnarray}$$である。$\displaystyle J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{d\theta}{1+\cos{\theta}}}$と置く。$$\begin{eqnarray}J & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2\cos^2{\frac{\theta}{2}}}} \\ & = & \left[\tan{\frac{\theta}{2}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ & = & 1\end{eqnarray}$$である。以上から、$\displaystyle I = \frac{\pi}{2}-J = \underline{\frac{\pi}{2}-1}$がわかる。

解説

一般に$\sin{x}, \cos{x}$の有理式の積分は$\displaystyle t = \tan{\frac{x}{2}}$と置換することでうまく積分できることが多い。本問題では$(3)$でこのように置換してもなかなかきれいな形に持ち込めないので、誘導を利用する。誘導を利用した後も、何段階かステップを経る必要がある。

来年度は東京医科歯科大学は東京工業大学と合併し、東京科学大学となる。本問題を以て、東京医科歯科大学の数学の問題は長い歴史を終える。