[math][京都大学]2024年京都大学理系数学問題5

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問題

$a$は$a\geq 1$を満たす定数とする。座標平面上で、次の$4$つの不等式が表す領域を$D_a$とする。$$x\geq0,\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\leq y,\ y\leq \frac{e^{x}+e^{-x}}{2},\ y\leq a$$次の問に答えよ。
$(1)$ $D_a$の面積$S_a$を求めよ。
$(2)$ $\displaystyle \lim_{a\to \infty}{S_a}$を求めよ。

方針

$(2)$ 不定形の極限の形になるが、それほど難しくはない。

解答

$(1)$ 下の図から、$$\begin{eqnarray}S_a & = & ab- \int_{0}^{b}{\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}dx} – \int_{0}^{c}{\left(a-\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)dx} \\ & = & ab-\left[\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right]_{0}^{b} – ac + \left[\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right]_{0}^{c} \\ & = & a(b-c)-\frac{e^{b}+e^{-b}}{2}+1+\frac{e^{c}-e^{-c}}{2} \\ & = & a(b-c)-\frac{e^{b}+e^{-b}}{2}+\frac{e^{c}-e^{-c}}{2} +1 \end{eqnarray}$$である。ここで、$\displaystyle \frac{e^{b}-e^{-b}}{2} = a$から、$e^{2b}-2ae^{b}-1 = 0$である。これを解くと、$\displaystyle e^{b} = a\pm\sqrt{a^2+1}$となる。$b >0$に注意すると、複号は正を取ることになり、$b = \log{(a+\sqrt{a^2+1})}$がわかる。また、$\displaystyle \frac{e^{c}+e^{-c}}{2} = a$から、$e^{2c}-2ae^{c}+1 = 0$である。これを解くと、$e^{c} = a\pm\sqrt{a^2-1}$となる。$c > 0$に注意すると、複号は正を取ることになり、$c = \log{(a+\sqrt{a^2-1})}$がわかる（$c = \log{(a-\sqrt{a^2-1})}$とすると、$\displaystyle c = \log{\frac{1}{a+\sqrt{a^2-1}}} < 0$となる）。以上から、$$\begin{eqnarray}S_a & = & a(b-c)-\frac{e^{b}+e^{-b}}{2} +\frac{e^{c}-e^{-c}}{2} + 1 \\ & = & \underline{a\log{(a+\sqrt{a^2+1})} -a\log{(a+\sqrt{a^2-1})} – \sqrt{a^2+1} + \sqrt{a^2-1}} + 1 \end{eqnarray}$$となる。

$(2)$ $(1)$から、$$\begin{eqnarray}S_a & = & a\log{\frac{a+\sqrt{a^2+1}}{a+\sqrt{a^2-1}}}-\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1} + 1 \\ & = & a\log{\frac{1+\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}{1+\sqrt{1-\frac{1}{a^2}}}}-\frac{2}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1}} + 1\end{eqnarray}$$である。$\displaystyle \lim_{a\to\infty}{a\log{\frac{a+\sqrt{a^2+1}}{a+\sqrt{a^2-1}}}} = 0$であることを示す。$\displaystyle a = \frac{1}{t}$とすると、$$\begin{eqnarray}a\log{\frac{a+\sqrt{a^2+1}}{a+\sqrt{a^2-1}}} & = & \frac{1}{t}\log{\frac{\frac{1}{t}+\sqrt{\frac{1}{t^2}+1}}{\frac{1}{t}+\sqrt{\frac{1}{t^2}-1}}} \\ & = &\frac{\log{(1+\sqrt{1+t^2})}-\log{(1+\sqrt{1-t^2})}}{t}\end{eqnarray}$$である。$f(t) = \log{(1+\sqrt{1+t^2})}-\log{(1+\sqrt{1-t^2})}$とすると、$f(0) = 0$であるから、$a\to \infty$のとき$t \to 0$であることに注意すると、$$\begin{eqnarray}\lim_{t\to 0}{\frac{f(t)}{t}} & = & \lim_{t\to 0}{\frac{f(t)-f(0)}{t-0}} \\ & = & f^{\prime}(0) \end{eqnarray}$$となる。$$\begin{eqnarray}f^{\prime}(t) & = & \frac{\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}{1+\sqrt{1+t^2}} – \frac{-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}}{1+\sqrt{1-t^2}}\end{eqnarray}$$であるから、$f^{\prime}(0) = 0$となる。以上から、$\displaystyle \underline{\lim_{a\to\infty}{S_a} = 1}$となる。