[math][京都大学]2024年京都大学理系数学問題3

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問題

座標空間の$4$店$O, A, B, C$は同一平面上にないとする。線分$OA$の中点を$P$、線分$AB$の中点を$Q$とする。実数$x, y$に対して、直線$OC$上の点$X$と、直線$BC$上の点$Y$を次のように定める。$$\overrightarrow{OX} = x\overrightarrow{OC}, \overrightarrow{BY} = y\overrightarrow{BC}$$このとき、直線$QY$と直線$PX$がねじれの位置にあるための$x, y$に関する必要十分条件を求めよ。

方針

空間で二つの直線がねじれの位置にある必要十分条件は、

$2$直線が平行ではない。
$2$直線が一点で交わらない。

の両方を満たすときである。

解答

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{OC} = c$とする。条件から、$\displaystyle \overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OQ} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{2}$である。また、$\overrightarrow{OX} = x\overrightarrow{c}, \overrightarrow{BY} = y\overrightarrow{BC}$であるから、$\overrightarrow{OY} = \overrightarrow{b} + y(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}) = (1-y)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}$である。以上から、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{QY} & = & \overrightarrow{OY}-\overrightarrow{OQ} \\ & = & (1-y)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2} \\ & = & -\frac{1}{2}\overrightarrow{a} +\left(\frac{1}{2}-y\right)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}\end{eqnarray}$$であるから、$\overrightarrow{QX}$の方向ベクトルは、$$\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-y, y\right) \tag{1}\label{1}$$である。また、$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{PX} & = & \overrightarrow{OX} -\overrightarrow{OP} \\ & = & x\overrightarrow{c} – \frac{\overrightarrow{a}}{2} \\ & = & -\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + x\overrightarrow{c}\end{eqnarray}$$であるから、$\overrightarrow{PX}$の方向ベクトルは$$\left(-\frac{1}{2}, 0, x\right) \tag{2}\label{2}$$である。\eqref{1}, \eqref{2}の外積は、$$\begin{pmatrix}\left(\frac{1}{2}-y\right)\cdot x- y\cdot 0 \\ y\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)x \\ -\frac{1}{2}\cdot 0 – \left(\frac{1}{2}-y\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\left(\frac{1}{2}-y\right) \\ \frac{x-y}{2} \\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-y\right)\end{pmatrix}$$$\displaystyle x=y$かつ$\displaystyle y=\frac{1}{2}$のとき、このベクトルは$\overrightarrow{0}$になる。つまり、$\displaystyle x\ne y$あるいは$\displaystyle y\ne \frac{1}{2}$のときは、このベクトルは$\overrightarrow{0}$でない。

直線$QY$は媒介変数を用いて、$$\begin{eqnarray}(1-t)\overrightarrow{OQ} + t\overrightarrow{OY} & = & (1-t)\cdot \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{2} + t\left((1-y)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}\right)\\ & = & \frac{1-t}{2}\overrightarrow{a} + \left(\frac{1-t}{2}+t(1-y)\right)\overrightarrow{b} + ty\overrightarrow{c}\end{eqnarray}$$と表すことができる。また、直線$PX$は媒介変数$s$を用いて、$$\begin{eqnarray}(1-s)\overrightarrow{OP} + s\overrightarrow{OX} & = & (1-s)\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + s\cdot x\overrightarrow{c} \\ & = & \frac{1-s}{2}\overrightarrow{a} + sx\overrightarrow{c}\end{eqnarray}$$と表すことができる。この$2$直線が交わるとき、$$\begin{cases}\displaystyle \frac{1-t}{2} = \displaystyle \frac{1-s}{2} \\ \displaystyle \frac{1-t}{2}+t(1-y) = \displaystyle 0 \\ ty = sx \end{cases}$$である。一番上から$t = s$で、すると一番下から$x=y$である。真ん中の式は$\displaystyle t\left(\frac{1}{2}-y\right)+\frac{1}{2} = 0$で、$\displaystyle y\ne \frac{1}{2}$のとき、この式を満たす$t$が存在し、したがって$s = t$も存在する。つまり、直線$QY$と直線$PX$が一直線で交わらない条件は、$x \ne y$または$\displaystyle y = \frac{1}{2}$である。

以上をまとめると、直線$QY$と直線$PX$がねじれの位置にある必要十分条件は、「$x\ne y$または$\displaystyle y\ne \frac{1}{2}$」かつ「$x\ne y$または$\displaystyle y = \frac{1}{2}$」であるから、$\underline{x\ne y}$である。