[math][京都大学]2025年京都大学理系数学第1問

Table of Contents

問題

次の各問に答えよ。（35点）
問1 $i$は虚数単位とする。複素数$z$が、絶対値が$2$である複素数全体を動くとき、$\displaystyle \left|z-\frac{i}{z}\right|$の最大値と最小値を求めよ。
問2 次の定積分の値を求めよ。
$(1)$ $\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx}\ \ \ $ $(2)$ $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}}dx}$

方針

慎重に計算する。

解答

問1 絶対値を$r$と置くと、$$\begin{eqnarray}r^2 & = & \left|z-\frac{i}{z}\right|^2 \\ & = & \left(z-\frac{i}{z}\right)\overline{\left(z-\frac{i}{z}\right)} \\ & = & \left(z-\frac{i}{z}\right)\left(\overline{z}+\frac{i}{\overline{z}}\right)\\ & = & |z|^2+\frac{1}{|z|^2} + i\left(\frac{z}{\overline{z}} – \frac{\overline{z}}{z}\right) \\ & = & \frac{17}{4} + i\frac{z^2-\overline{z}^2}{|z|^2} \\ & = & \frac{17}{4} + \frac{i}{4}(z^2-{\overline{z}}^2)\end{eqnarray}$$となる。$z = 2(\cos{\theta}+i\sin{\theta})\ (0\leq \theta < 2\pi)$とすると、$z^2-{\overline{z}}^2 = 8i\sin{2\theta}$であるから、$$\begin{eqnarray}r^2 & = & \frac{17}{4} +2\sin{2\theta}\end{eqnarray}$$となる。$-1\leq \sin{2\theta} \leq 1$であるから、$$\frac{17}{4}-2\leq r^2 \leq \frac{17}{4} + 2$$となる。したがって、$\displaystyle \frac{9}{4}\leq r^2\leq \frac{25}{4}$であり、$\displaystyle \underline{\frac{3}{2}\leq r\leq \frac{5}{2}}$となる。

問2 $(1)$ $$\begin{eqnarray}\frac{x\sqrt{x^2+1} + 2x^3+1}{x^2+1} & = & x(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} + \frac{2x(x^2+1)-2x+1}{x^2+1} \\ & = & x(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} + 2x -\frac{2x}{x^2+1} + \frac{1}{x^2+1}\end{eqnarray}$$であるから、$0$から$\sqrt{3}$まで積分すると、$$\begin{eqnarray} & =& \left[(x^2+1)^{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{\sqrt{3}} + [x^2]_{0}^{\sqrt{3}}-[\ln{(x^2+1)}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{dx}{x^2+1}} \\ & = & 2-1+3-2ln{2}+\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{1}{1+\tan^2{\theta}}\cdot \frac{1}{\cos^2{\theta}}d\theta} \\ & = & \underline{4-2\ln{2} + \frac{\pi}{3}}\end{eqnarray}$$となる。ただし、$\displaystyle \frac{1}{x^2+1}$の積分で$x = \tan{\theta}$と置換した。

問2 $2$ $\displaystyle 1-\cos{x} = 2\sin^2{\frac{x}{2}}, 1+\cos{x} = 2\cos^2{\frac{x}{2}}$であるから、ルートの中は$\displaystyle \tan^2{\frac{x}{2}}$となる。したがって、求める値は$$\begin{eqnarray} & = & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left|\tan{\frac{x}{2}}\right|dx} \\ & = & \left[\ln{\cos{\frac{x}{2}}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ & = & -2\ln{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ & = & \underline{\ln{2}}\end{eqnarray}$$となる。