[math][京都大学]2025年京都大学理系数学問題5

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問題

$\theta$は実数とする。$xyz$空間の$2$点$\displaystyle A\left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{4}\right), P\left(\cos{\theta}, \sin{\theta}, \frac{1}{2}\cos{\theta}\right)$を通る直線$AP$が$xy$平面と交わるとき、その交点を$Q$とする。$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときの点$Q$の軌跡を求め、その軌跡を$xy$平面上に図示せよ。

方針

$x, y$を$\cos{\theta}, \sin{\theta}$で表す。$\theta$を消去するには$\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1$を用いる。

解答

直線$AP$は$$\begin{eqnarray}\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{AP} & = & \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{4}\right) + t\left(\cos{\theta}, \sin{\theta}, \frac{1}{2}\cos{\theta}-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\end{eqnarray}$$と表される。$AP$が$xy$平面と交わるとき、$z$座標は$0$だから、$$\frac{\sqrt{2}}{4}+t\left(\frac{1}{2}\cos{\theta}-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0$$である。これから$\displaystyle t = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2\cos{\theta}}\ \left(|\theta| < \frac{\pi}{4}\right)$となる。点$Q$の座標を$(x, y, 0)$とすると、$$\begin{eqnarray}x & = & t\cos{\theta}\\ & = & \frac{\sqrt{2}\cos{\theta}}{\sqrt{2}-2\cos{\theta}} \\ y & = & t\sin{\theta}\\ & = & \frac{\sqrt{2}\sin{\theta}}{\sqrt{2}-2\cos{\theta}}\end{eqnarray}$$である。初めの式から、$\displaystyle (\sqrt{2}+2x)\cos{\theta} = \sqrt{2}x$である。これから、$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}+2x}\ \left(x\ne -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$となる。$\displaystyle |\theta| < \frac{\pi}{4}$から$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} < \cos{\theta} \leq 1$であるから、代入して$$\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}+2x} \leq 1$$である。$(\sqrt{2}+2x)^2$を掛けて、$$\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2}+2x)^2 < \sqrt{2}x(\sqrt{2}+2x) \leq (\sqrt{2}+2x)^2$$である。整理すると、$$\begin{eqnarray}4x^2+4\sqrt{2}x+2\geq 2+2\sqrt{2}x \\ 2x+2\sqrt{2}x^2 > 2\sqrt{2}x^2+4x + \sqrt{2}\end{eqnarray}$$となる。上の式は、$2x(2x+\sqrt{2})\geq 0$だから、$\displaystyle x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\leq x$となるが、$\displaystyle x\ne -\frac{\sqrt{2}}{2}$だから、$\displaystyle x<-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\geq x$となる。下の式は$\displaystyle x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$である。両方満たすのは$\displaystyle x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$である。

$y$の式から$$\begin{eqnarray}\sin{\theta} & = & \frac{y}{\sqrt{2}}(\sqrt{2}-2\cos{\theta})\\ & = & \frac{y}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}x}{\sqrt{2}+2x}\right)\\ & = & \frac{\sqrt{2}y}{\sqrt{2}+2x}\end{eqnarray}$$である。$\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta} = 1$だから、$$\left(\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{2}+2x}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}y}{\sqrt{2}+2x}\right)^2 = 1$$であり、$$2x^2+2y^2 = 2+4\sqrt{2}x+4x^2$$となるから、整理して$\displaystyle (x+\sqrt{2})^2-y^2 = 1$となる。上で定めた範囲でこれを図示すると、以下のようになる。ただし、$y=x+\sqrt{2}, y=-x-\sqrt{2}$は$(x+\sqrt{2})^2-y^2=1$の漸近線である。